Prove que para uma partícula em um potencial
a taxa de mudança do valor esperado do momento angular orbital L é igual ao valor esperado do torque:
em que
(Esse é o análogo rotacional do teorema de Ehrenfest.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que, para uma partícula em um potencial
, a taxa de variação do valor esperado do momento angular orbital
é igual ao valor esperado do torque
. Isso está relacionado ao teorema de Ehrenfest, que conecta a mecânica quântica com a clássica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de operadores, valores esperados e as propriedades da mecânica quântica.
Passo 2
Vamos começar lembrando que o momento angular orbital
é definido como:
onde
é o vetor posição e
é o operador impulso (
).
Passo 3
O valor esperado de
é dado por:
onde
é o estado quântico da partícula.
Passo 4
Para encontrar a taxa de variação do valor esperado de
em relação ao tempo, usamos a derivada temporal:
Aplicando a regra do produto para a derivada, temos:
Como
não depende do tempo explicitamente, o termo
é zero.
Passo 5
Usamos a equação de Schrödinger dependente do tempo:
e sua adjunta:
Substituindo na expressão da derivada:
onde
é o comutador entre
e o Hamiltoniano
.
Passo 6
Assumimos que o Hamiltoniano é da forma:
Então, o comutador
se reduz a:
pois
comuta com o termo cinético
.
Passo 7
Calculando o comutador
:
Isso porque
.
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Simplificando:
Que é exatamente a definição do valor esperado do torque
.
Resposta
Portanto, provamos que:
onde
.