Prove que para uma partícula em um potencial a taxa de mudança do valor esperado do momento angular orbital L é igual ao valor esperado do torque:
em que
(Esse é o análogo rotacional do teorema de Ehrenfest.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que, para uma partícula em um potencial , a taxa de variação do valor esperado do momento angular orbital é igual ao valor esperado do torque . Isso está relacionado ao teorema de Ehrenfest, que conecta a mecânica quântica com a clássica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de operadores, valores esperados e as propriedades da mecânica quântica.

Passo 2

Vamos começar lembrando que o momento angular orbital é definido como:
onde é o vetor posição e é o operador impulso ( ).

Passo 3

O valor esperado de é dado por:
onde é o estado quântico da partícula.

Passo 4

Para encontrar a taxa de variação do valor esperado de em relação ao tempo, usamos a derivada temporal:
Aplicando a regra do produto para a derivada, temos:
Como não depende do tempo explicitamente, o termo é zero.

Passo 5

Usamos a equação de Schrödinger dependente do tempo:
e sua adjunta:
Substituindo na expressão da derivada:
onde é o comutador entre e o Hamiltoniano .

Passo 6

Assumimos que o Hamiltoniano é da forma:
Então, o comutador se reduz a:
pois comuta com o termo cinético .

Passo 7

Calculando o comutador :
Isso porque .

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Simplificando:
Que é exatamente a definição do valor esperado do torque .

Resposta

Portanto, provamos que:
onde .

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