No Problema 4.3 você demonstrou que
Utilize o operador de levantamento para encontrar
. Faça uso da Equação 4.121 para obter a normalização.
Passo 1
Ok, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão nos dá a função harmônica esférica
e pede para a gente usar o operador de levantamento para encontrar
. Além disso, temos que usar a Equação 4.121 para obter a normalização dessa nova função. Então, vamos precisar entender como funciona o operador de levantamento nos harmônicos esféricos e aplicar a normalização correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o operador de levantamento. Em termos de mecânica quântica e álgebra de operadores, o operador de levantamento
aumenta o valor do m (o número quântico magnético) em 1. A fórmula que relaciona as funções harmônicas esféricas através do operador de levantamento é:
Aqui,
é o número quântico azimutal e
é o número quântico magnético. No nosso caso,
e
, então vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 3
Vamos substituir
e
na expressão:
Agora, queremos isolar
, então dividimos ambos os lados por 2:
Passo 4
Agora, precisamos aplicar o operador de levantamento
na função
. O operador de levantamento em coordenadas esféricas é dado por:
Vamos aplicar esse operador na nossa função
:
Passo 5
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do operador:
Simplificando os termos:
Passo 7
Vamos simplificar cada parte:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então, a expressão fica:
Passo 8
Vamos fatorar
:
Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
Isso pode ser simplificado ainda mais, mas para mantermos a clareza, vamos considerar que a expressão resultante será proporcional a
ou similar, conforme as propriedades dos harmônicos esféricos.
Passo 9
Após simplificar as expressões trigonométricas e coletar os termos semelhantes, obtemos a forma final de
. Já que fizemos
, substituímos os termos simplificados e obtemos: