Mostre que para qualquer potencial esfericamente simétrico. (Essa é uma forma do enunciado quântico de conservação do momento angular.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a derivada do valor esperado do momento angular, , é igual a zero quando o potencial é esfericamente simétrico. Isso quer dizer que o momento angular é conservado nesse caso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre operadores e comutadores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada temporal do valor esperado de um operador no contexto da mecânica quântica. A regra que usamos é:
Aqui, é o Hamiltoniano do sistema, que representa a energia total, e é o comutador entre e .

Passo 3

No nosso caso, o operador de momento angular não depende explicitamente do tempo, ou seja, . Então, a equação simplifica para:
Agora, precisamos analisar o comutador .

Passo 4

O Hamiltoniano para uma partícula em um potencial esfericamente simétrico pode ser escrito como:
Onde é o operador momento e é o potencial que depende apenas da distância ao centro, garantindo a simetria esférica.

Passo 5

Vamos analisar o comutador :
Sabemos que o momento angular comuta com o termo cinético :
E como depende apenas de , que é radial, também comuta com :

Passo 6

Então, o comutador total é:
Substituindo de volta na equação da derivada temporal:

Resposta

Conseguimos mostrar que para qualquer potencial esfericamente simétrico. Isso significa que o momento angular é conservado nesse cenário.

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