Mostre que
para qualquer potencial esfericamente simétrico. (Essa é uma forma do enunciado quântico de conservação do momento angular.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a derivada do valor esperado do momento angular,
, é igual a zero quando o potencial é esfericamente simétrico. Isso quer dizer que o momento angular é conservado nesse caso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre operadores e comutadores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada temporal do valor esperado de um operador
no contexto da mecânica quântica. A regra que usamos é:
Aqui,
é o Hamiltoniano do sistema, que representa a energia total, e
é o comutador entre
e
.
Passo 3
No nosso caso, o operador de momento angular
não depende explicitamente do tempo, ou seja,
. Então, a equação simplifica para:
Agora, precisamos analisar o comutador
.
Passo 4
O Hamiltoniano
para uma partícula em um potencial esfericamente simétrico pode ser escrito como:
Onde
é o operador momento e
é o potencial que depende apenas da distância
ao centro, garantindo a simetria esférica.
Passo 5
Vamos analisar o comutador
:
Sabemos que o momento angular
comuta com o termo cinético
:
E como
depende apenas de
, que é radial,
também comuta com
:
Passo 6
Então, o comutador total é:
Substituindo de volta na equação da derivada temporal:
Resposta
Conseguimos mostrar que
para qualquer potencial esfericamente simétrico. Isso significa que o momento angular é conservado nesse cenário.