Começando pelas relações de comutação canônicas para posição e momento (Equação 4.10), resolva os seguintes comutadores:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre comutadores envolvendo o operador de momento angular e as posições e momentos ( ). O que precisamos para resolver isso são as relações de comutação canônicas e a definição do operador de momento angular. Vamos passo a passo entender e calcular cada comutador.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição do operador de momento angular no contexto da mecânica quântica. Ele é dado por:
Isso significa que está relacionado às posições e momentos nas direções e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar as relações de comutação canônicas básicas entre posição e momento:
E todas as demais comutações entre diferentes coordenadas ou momentos são zero, por exemplo:
Essas relações são fundamentais para calcular nossos comutadores.

Passo 4

Vamos começar calculando . Usando a definição de :
Agora, vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculemos :
Como commute consigo mesmo, temos:
Porque e .

Passo 6

Agora, calculemos :
Usando a propriedade do comutador:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Voltando ao cálculo de :

Passo 8

Vamos agora calcular usando o mesmo método:

Passo 9

Primeiro, :
Porque e .

Passo 10

Segundo, :
Pois e .

Passo 11

Agora, voltando a :

Passo 12

Vamos calcular :

Passo 13

Primeiro, :
Porque e .

Passo 14

Segundo, :
Já que e .

Passo 15

Voltando a :

Passo 16

Agora, vamos calcular :

Passo 17

Primeiro, :
Porque e .

Passo 18

Segundo, :
Pois e .

Passo 19

Voltando a :

Passo 20

Finalmente, vamos calcular :

Passo 21

Primeiro, :
Porque e .

Passo 22

Segundo, :
Já que e .

Passo 23

Então,

Resposta

Os comutadores resolvidos são:

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