Começando pelas relações de comutação canônicas para posição e momento (Equação 4.10), resolva os seguintes comutadores:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre comutadores envolvendo o operador de momento angular
e as posições e momentos (
). O que precisamos para resolver isso são as relações de comutação canônicas e a definição do operador de momento angular. Vamos passo a passo entender e calcular cada comutador.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição do operador de momento angular
no contexto da mecânica quântica. Ele é dado por:
Isso significa que
está relacionado às posições e momentos nas direções
e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar as relações de comutação canônicas básicas entre posição e momento:
E todas as demais comutações entre diferentes coordenadas ou momentos são zero, por exemplo:
Essas relações são fundamentais para calcular nossos comutadores.
Passo 4
Vamos começar calculando
. Usando a definição de
:
Agora, vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculemos
:
Como
commute consigo mesmo, temos:
Porque
e
.
Passo 6
Agora, calculemos
:
Usando a propriedade do comutador:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Voltando ao cálculo de
:
Passo 8
Vamos agora calcular
usando o mesmo método:
Passo 9
Primeiro,
:
Porque
e
.
Passo 10
Segundo,
:
Pois
e
.
Passo 11
Agora, voltando a
:
Passo 12
Vamos calcular
:
Passo 13
Primeiro,
:
Porque
e
.
Passo 14
Segundo,
:
Já que
e
.
Passo 15
Voltando a
:
Passo 16
Agora, vamos calcular
:
Passo 17
Primeiro,
:
Porque
e
.
Passo 18
Segundo,
:
Pois
e
.
Passo 19
Voltando a
:
Passo 20
Finalmente, vamos calcular
:
Passo 21
Primeiro,
:
Porque
e
.
Passo 22
Segundo,
:
Já que
e
.
Passo 23
Então,
Resposta
Os comutadores resolvidos são: