Avalie a seguinte integral:
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve a função delta de Dirac, que é um conceito da matemática e da física, especialmente em cálculo de integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função delta funciona e como ela interage com outras funções dentro de uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre a função delta de Dirac, representada por . Essa função é especial porque é zero em todos os pontos exceto em , onde ela “explode” para que sua integral sobre o espaço todo seja igual a 1. Basicamente, a função delta “seleciona” o valor da função que está sendo multiplicada por ela no ponto .

Passo 3

Agora, aplicando isso à nossa integral, temos . Isso significa que a função delta vai selecionar o valor da função quando . Portanto, para resolver a integral, basta substituir por na função.

Passo 4

Vamos substituir por na função :
Sabemos que , porque o cosseno tem período , e .

Passo 5

Substituindo o valor de , temos:

Resposta

A integral vale .

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