Avalie a seguinte integral:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve a função delta de Dirac, que é um conceito da matemática e da física, especialmente em cálculo de integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função delta funciona e como ela interage com outras funções dentro de uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos falar um pouco sobre a função delta de Dirac, representada por
. Essa função é especial porque é zero em todos os pontos exceto em
, onde ela “explode” para que sua integral sobre o espaço todo seja igual a 1. Basicamente, a função delta “seleciona” o valor da função que está sendo multiplicada por ela no ponto
.
Passo 3
Agora, aplicando isso à nossa integral, temos
. Isso significa que a função delta vai selecionar o valor da função
quando
. Portanto, para resolver a integral, basta substituir
por
na função.
Passo 4
Vamos substituir
por
na função
:
Sabemos que
, porque o cosseno tem período
, e
.
Passo 5
Substituindo o valor de
, temos:
Resposta
A integral vale
.