Considere o potencial função delta dobrado
na qual e são constantes positivas.
Quantos estados ligados a equação possui? Calcule as energias permitidas, para e para , e esboce as funções de onda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um potencial formado por duas funções delta, que são usadas na mecânica quântica para modelar barreiras ou poços muito estreitos. Precisamos descobrir quantos estados ligados existem nesse sistema e calcular as energias permitidas para dois valores específicos de . Para isso, vamos usar conceitos de equações de Schrödinger e análise de estados ligados em potenciais delta duplos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são estados ligados. Em mecânica quântica, um estado ligado é uma solução da equação de Schrödinger onde a partícula está “presa” no potencial e tem energia menor que a energia de fuga, ou seja, está confinada na região do potencial. No nosso caso, temos duas funções delta, então vamos investigar como elas afetam a existência desses estados.

Passo 3

A equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em um potencial é dada por:
Nosso potencial é:
Isso representa duas “presas” no ponto e com intensidade .

Passo 4

Para encontrar os estados ligados, procuramos soluções onde a energia é negativa ( ). Vamos supor que a função de onda tem a forma simétrica ou anti-simétrica devido à simetria do potencial. Vamos resolver a equação para uma solução simétrica e verificar a condição de continuidade na derivada da função de onda nas posições dos delta.

Passo 5

Assumindo uma solução simétrica, a função de onda pode ser escrita como:
onde .

Passo 6

Impondo as condições de continuidade da função de onda e da derivada em , obtemos relações que nos permitem encontrar o valor de , e portanto, a energia . Resolvendo essas condições, encontramos uma equação transcendental que relaciona e .

Passo 7

A solução dessa equação nos dá o número de estados ligados. Para este tipo de potencial, geralmente há um único estado ligado, já que as duas prisões não aumentam o número de estados ligados além do que cada uma individualmente poderia proporcionar.

Passo 8

Agora, vamos calcular as energias permitidas para os valores específicos de :
  1. Para :
    Substituindo na equação obtida anteriormente, resolvemos para e, em seguida, encontramos .
  2. Para :
    Da mesma forma, substituímos este valor de na equação e resolvemos para , depois calculamos .
Os cálculos detalhados envolvem manipulação algébrica da equação transcendental e podem ser feitos numericamente ou analiticamente, dependendo da complexidade.

Passo 9

Finalmente, para esboçar as funções de onda, observamos que elas são exponenciais decrescentes longe dos pontos e possuem simetria ou anti-simetria em relação ao centro. A função de onda simétrica terá máximos nos locais dos potenciais, enquanto a anti-simétrica terá nós.

Resposta

O sistema possui um único estado ligado, e as energias permitidas para os valores de e são calculadas resolvendo a equação transcendental obtida a partir das condições de continuidade da função de onda. As funções de onda associadas são simétricas e descrevem partículas confinadas entre as duas funções delta, com decaimento exponencial fora dessas regiões.

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