As funções delta vivem sob os sinais da integral, e duas expressões
e
envolvendo funções delta são ditas iguais se
para cada função (comum)
.
Demonstre que
onde
é uma constante real. (Verifique o caso em que
é negativo.)
Demonstre que
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função delta de Dirac, quando multiplicada por uma constante
, se comporta de um jeito específico. O exercício está dentro do estudo de distribuições, mais especificamente envolvendo integrais e a delta de Dirac. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades básicas das integrais e entender como a função delta funciona dentro delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função delta de Dirac,
. Ela não é uma função no sentido tradicional, mas uma distribuição que tem uma propriedade muito legal:
Isso significa que, quando você integra a função delta multiplicada por qualquer função
, o resultado é o valor de
em zero.
Passo 3
Agora, queremos demonstrar que:
Para isso, vamos usar a definição de igualdade de distribuições: duas distribuições são iguais se, quando integradas contra qualquer função
, dão o mesmo resultado.
Passo 4
Vamos calcular a integral de
multiplicada por
:
Fazemos uma mudança de variável. Vamos definir
, então
ou
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Porque
“pega” o valor da função em
.
Passo 6
Mas, observamos que se
for negativo, a mudança de variável inverte os limites da integral. Para manter a integral com os limites corretos, colocamos o valor absoluto de
:
Passo 7
Então, temos que:
E sabemos que:
Resposta
Portanto, mostramos que: