As funções delta vivem sob os sinais da integral, e duas expressões e envolvendo funções delta são ditas iguais se
para cada função (comum) .
Demonstre que
onde é uma constante real. (Verifique o caso em que é negativo.)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função delta de Dirac, quando multiplicada por uma constante , se comporta de um jeito específico. O exercício está dentro do estudo de distribuições, mais especificamente envolvendo integrais e a delta de Dirac. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades básicas das integrais e entender como a função delta funciona dentro delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função delta de Dirac, . Ela não é uma função no sentido tradicional, mas uma distribuição que tem uma propriedade muito legal:
Isso significa que, quando você integra a função delta multiplicada por qualquer função , o resultado é o valor de em zero.

Passo 3

Agora, queremos demonstrar que:
Para isso, vamos usar a definição de igualdade de distribuições: duas distribuições são iguais se, quando integradas contra qualquer função , dão o mesmo resultado.

Passo 4

Vamos calcular a integral de multiplicada por :
Fazemos uma mudança de variável. Vamos definir , então ou .

Passo 5

Substituindo na integral:
Porque “pega” o valor da função em .

Passo 6

Mas, observamos que se for negativo, a mudança de variável inverte os limites da integral. Para manter a integral com os limites corretos, colocamos o valor absoluto de :

Passo 7

Então, temos que:
E sabemos que:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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