Qual é a transformada de Fourier de
? Usando o teorema de Plancherel, demonstre que
Comentário: essa fórmula causa perplexidade a qualquer matemático respeitável. Embora a integral seja claramente infinita quando
, ela não converge (a zero ou qualquer outro valor) quando
0 , pois o integrando oscila continuamente. Há meios de consertá-la (por exemplo, você pode integrar de
a
e interpretar a Equação 2.144 de modo que ela seja o valor médio da integral finita, como
). A fonte do problema é que a função delta não cumpre a exigência (integrabilidade–quadrado) do teorema de Plancherel (veja nota de rodapé no 33). Com relação a isso, a Equação 2.144 pode ser extremamente útil se tratada com cuidado.
Passo 1
Então, a gente tem uma pergunta sobre transformada de Fourier da função delta de Dirac, que é
. A questão também pede para usar o teorema de Plancherel para demonstrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier, o que é a função delta de Dirac, e como aplicar o teorema de Plancherel nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função
é dada por:
Isso basicamente decompõe a função
em suas frequências componentes.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a função delta de Dirac,
. Ela não é uma função comum, mas sim uma distribuição que tem a propriedade de ser zero em todos os lugares, exceto em
, onde ela “explode” de forma que sua integral sobre todo o eixo real seja 1:
Passo 4
Vamos calcular a transformada de Fourier da
. Aplicando a definição:
Como a
“pega” o valor da função em
, temos:
Então, a transformada de Fourier de
é simplesmente 1.
Passo 5
Agora, vamos usar o teorema de Plancherel, que basicamente diz que a energia (integral do quadrado) de uma função no domínio do tempo é igual à energia no domínio da frequência:
Passo 6
Aplicando o teorema de Plancherel à função delta de Dirac:
Sabemos que
não é integrável no sentido clássico, mas podemos interpretar a igualdade formalmente. A integral no lado direito:
represents uma integral que “conta” todas as frequências, resultando em uma representação da função delta.
Passo 7
Portanto, juntando tudo, temos que:
Isso mostra que a função delta pode ser representada como uma superposição de ondas senoidais de todas as frequências, o que está alinhado com a ideia da transformada de Fourier.
Resposta
A transformada de Fourier da função delta de Dirac
é
, e usando o teorema de Plancherel, demonstramos que: