Na teoria da relatividade, velocidades podem ser representadas por pontos em um certo “espaço de rapidez”, no qual a distância entre dois pontos vizinhos é , onde e são coordenadas polares, considerando apenas o espaço bidimensional. (Uma expressão como essa para a distância em um espaço não Euclidiano é geralmente chamada de métrica do espaço.) Use a equação de Euler-Lagrange para mostrar que o caminho mais curto entre a origem e um ponto qualquer é uma reta.

Passo 1

Então, vamos lá! O problema fala sobre a teoria da relatividade e como representamos velocidades usando um “espaço de rapidez”. A distância entre dois pontos nesse espaço é dada por uma fórmula específica que envolve coordenadas polares e . Nosso objetivo é usar a equação de Euler-Lagrange para provar que o caminho mais curto entre a origem e qualquer outro ponto nesse espaço é uma reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a métrica do espaço. A métrica nos dá a forma de calcular a distância entre dois pontos em um espaço, que pode não ser o espaço comum que conhecemos (não Euclidiano). No nosso caso, a métrica é:
Isso nos diz como medir pequenas distâncias baseadas nas variações de e .

Passo 3

Para encontrar o caminho mais curto entre dois pontos, usamos o princípio da menor ação, que pode ser resolvido usando a equação de Euler-Lagrange. A ideia é minimizar o comprimento total do caminho integrando ao longo do trajeto.

Passo 4

Vamos escrever a integral do comprimento :
Para facilitar, podemos parametrizar o caminho usando um parâmetro , de modo que e .

Passo 5

Substituindo na expressão de :
A função a ser minimizada é o Lagrangiano :

Passo 6

Aponte que buscamos minimizar , então aplicamos as equações de Euler-Lagrange para e :
onde e .

Passo 7

Observamos que não aparece explicitamente no Lagrangiano, o que implica que a quantidade associada a é conservada. Isso nos leva a concluir que o caminho mais curto deve manter constante ou variar de maneira linear, indicando uma reta.

Passo 8

Finalmente, resolvendo as equações de Euler-Lagrange, concluímos que a solução que minimiza a integral é , ou seja, o caminho é uma reta que parte da origem até o ponto desejado.

Resposta

Portanto, usando a equação de Euler-Lagrange, mostramos que o caminho mais curto entre a origem e qualquer ponto no espaço de rapidez é uma reta.

Exercícios de Livros Relacionados