Na teoria da relatividade, velocidades podem ser representadas por pontos em um certo “espaço de rapidez”, no qual a distância entre dois pontos vizinhos é
, onde
e
são coordenadas polares, considerando apenas o espaço bidimensional. (Uma expressão como essa para a distância em um espaço não Euclidiano é geralmente chamada de métrica do espaço.) Use a equação de Euler-Lagrange para mostrar que o caminho mais curto entre a origem e um ponto qualquer é uma reta.
Passo 1
Então, vamos lá! O problema fala sobre a teoria da relatividade e como representamos velocidades usando um “espaço de rapidez”. A distância entre dois pontos nesse espaço é dada por uma fórmula específica que envolve coordenadas polares
e
. Nosso objetivo é usar a equação de Euler-Lagrange para provar que o caminho mais curto entre a origem e qualquer outro ponto nesse espaço é uma reta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a métrica do espaço. A métrica nos dá a forma de calcular a distância entre dois pontos em um espaço, que pode não ser o espaço comum que conhecemos (não Euclidiano). No nosso caso, a métrica é:
Isso nos diz como medir pequenas distâncias
baseadas nas variações de
e
.
Passo 3
Para encontrar o caminho mais curto entre dois pontos, usamos o princípio da menor ação, que pode ser resolvido usando a equação de Euler-Lagrange. A ideia é minimizar o comprimento total do caminho integrando
ao longo do trajeto.
Passo 4
Vamos escrever a integral do comprimento
:
Para facilitar, podemos parametrizar o caminho usando um parâmetro
, de modo que
e
.
Passo 5
Substituindo na expressão de
:
A função a ser minimizada é o Lagrangiano
:
Passo 6
Aponte que buscamos minimizar
, então aplicamos as equações de Euler-Lagrange para
e
:
onde
e
.
Passo 7
Observamos que
não aparece explicitamente no Lagrangiano, o que implica que a quantidade associada a
é conservada. Isso nos leva a concluir que o caminho mais curto deve manter
constante ou variar de maneira linear, indicando uma reta.
Passo 8
Finalmente, resolvendo as equações de Euler-Lagrange, concluímos que a solução que minimiza a integral
é
, ou seja, o caminho é uma reta que parte da origem até o ponto desejado.
Resposta
Portanto, usando a equação de Euler-Lagrange, mostramos que o caminho mais curto entre a origem e qualquer ponto no espaço de rapidez é uma reta.