Mostre que o caminho para o qual a integral é estacionária
é uma função arcsenh.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar a função que deixa a integral
estacionária. Isso está no campo do Cálculo de Variações, onde buscamos funções que tornam uma certa integral mínima ou estacionária. Para resolver isso, vamos usar a Equação de Euler-Lagrange, que é uma ferramenta chave nesse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que está dentro da integral, que chamamos de Lagrangiano . No nosso caso,
Aqui, representa a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Equação de Euler-Lagrange, que nos diz que:
No nosso Lagrangiano, não depende diretamente de , apenas de . Então, , e a equação simplifica para:
Isso significa que é uma constante.

Passo 4

Calculando :
Como esse termo é constante, podemos escrever:
Onde é uma constante. Vamos resolver isso para .

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para encontrar :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Distribuindo o :
Agrupando os termos com :
Tomando a raiz:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar :
Reconhecemos essa integral como a definição da função arcsinh (o inverso da seno hiperbólico).

Resposta

A função que torna a integral estacionária é dada por
onde e são constantes de integração.

Exercícios de Livros Relacionados