Mostre que o caminho
para o qual a integral
é estacionária
é uma função arcsenh.
é uma função arcsenh.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar a função
que deixa a integral
estacionária. Isso está no campo do Cálculo de Variações, onde buscamos funções que tornam uma certa integral mínima ou estacionária. Para resolver isso, vamos usar a Equação de Euler-Lagrange, que é uma ferramenta chave nesse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que está dentro da integral, que chamamos de Lagrangiano
. No nosso caso,
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Equação de Euler-Lagrange, que nos diz que:
No nosso Lagrangiano,
não depende diretamente de
, apenas de
. Então,
, e a equação simplifica para:
Isso significa que
é uma constante.
Passo 4
Calculando
:
Como esse termo é constante, podemos escrever:
Onde
é uma constante. Vamos resolver isso para
.
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para encontrar
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Distribuindo o
:
Agrupando os termos com
:
Tomando a raiz:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
Reconhecemos essa integral como a definição da função arcsinh (o inverso da seno hiperbólico).
Resposta
A função que torna a integral estacionária é dada por
onde
e
são constantes de integração.