Um dos muitos usos do produto escalar é na determinação do ângulo entre dois vetores dados. Determine o ângulo entre os vetores
e
através do cálculo do produto escalar entre eles.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores,
e
. Para isso, vamos usar o produto escalar (também conhecido como produto interno) dos vetores. O produto escalar nos ajuda a relacionar dois vetores e encontrar o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos dois vetores
e
, o produto escalar é dado por:
Esse cálculo vai nos dar um número que depois vamos usar para encontrar o ângulo.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Então, o produto escalar é 12.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o módulo (ou norma) de cada vetor. A fórmula para o módulo de um vetor
é:
Vamos calcular para
:
E para
:
Passo 5
Com o produto escalar e os módulos dos vetores, podemos usar a fórmula que relaciona esses valores com o cosseno do ângulo
entre eles:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora, para encontrar o ângulo
, precisamos calcular o arco cosseno de
:
Utilizando uma calculadora:
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é aproximadamente
.