Um dos muitos usos do produto escalar é na determinação do ângulo entre dois vetores dados. Determine o ângulo entre os vetores e através do cálculo do produto escalar entre eles.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores, e . Para isso, vamos usar o produto escalar (também conhecido como produto interno) dos vetores. O produto escalar nos ajuda a relacionar dois vetores e encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos dois vetores e , o produto escalar é dado por:
Esse cálculo vai nos dar um número que depois vamos usar para encontrar o ângulo.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre e :
Então, o produto escalar é 12.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o módulo (ou norma) de cada vetor. A fórmula para o módulo de um vetor é:
Vamos calcular para :
E para :

Passo 5

Com o produto escalar e os módulos dos vetores, podemos usar a fórmula que relaciona esses valores com o cosseno do ângulo entre eles:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Agora, para encontrar o ângulo , precisamos calcular o arco cosseno de :
Utilizando uma calculadora:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é aproximadamente .

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