Os dois vetores estão sobre o plano e fazem ângulos com o eixo . (a) Calculando de duas formas [a saber, usando (1.6) e (1.7)], mostre a identidade trigonométrica bem conhecida
(b) Calculando similarmente , mostre que

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado! Temos dois vetores, e , que estão no plano . Cada um faz um ângulo diferente com o eixo : faz um ângulo e faz um ângulo . O conteúdo aqui envolve produto escalar e produto vetorial de vetores, além de identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar e o produto vetorial de vetores no plano, usando suas componentes e as magnitudes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar de duas maneiras diferentes. A primeira forma usa as componentes dos vetores. Se forma um ângulo com o eixo , suas componentes são:
E similarmente para :
Então, o produto escalar é:

Passo 3

A segunda forma de calcular o produto escalar usa a definição que relaciona as magnitudes dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é:

Passo 4

Agora, temos duas expressões para o mesmo produto escalar:
Como e são diferentes de zero, podemos dividir ambos os lados por , ficando com:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos calcular o produto vetorial . No plano , o produto vetorial entre dois vetores resulta em um escalar que representa a magnitude do vetor perpendicular ao plano, considerando a direção (positivo ou negativo).
Usando as componentes dos vetores:

Passo 6

De outro jeito, o produto vetorial também pode ser expresso em termos da magnitude dos vetores e do seno do ângulo entre eles:

Passo 7

Igualando as duas expressões para o produto vetorial:
Novamente, dividindo ambos os lados por :

Resposta

Portanto, mostramos que:
e

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