Os dois vetores
estão sobre o plano
e fazem ângulos
com o eixo
. (a) Calculando
de duas formas [a saber, usando (1.6) e (1.7)], mostre a identidade trigonométrica bem conhecida
(b) Calculando similarmente
, mostre que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado! Temos dois vetores,
e
, que estão no plano
. Cada um faz um ângulo diferente com o eixo
:
faz um ângulo
e
faz um ângulo
. O conteúdo aqui envolve produto escalar e produto vetorial de vetores, além de identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar e o produto vetorial de vetores no plano, usando suas componentes e as magnitudes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
de duas maneiras diferentes. A primeira forma usa as componentes dos vetores. Se
forma um ângulo
com o eixo
, suas componentes são:
E similarmente para
:
Então, o produto escalar é:
Passo 3
A segunda forma de calcular o produto escalar usa a definição que relaciona as magnitudes dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é:
Passo 4
Agora, temos duas expressões para o mesmo produto escalar:
Como
e
são diferentes de zero, podemos dividir ambos os lados por
, ficando com:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos calcular o produto vetorial
. No plano
, o produto vetorial entre dois vetores resulta em um escalar que representa a magnitude do vetor perpendicular ao plano, considerando a direção (positivo ou negativo).
Usando as componentes dos vetores:
Passo 6
De outro jeito, o produto vetorial também pode ser expresso em termos da magnitude dos vetores e do seno do ângulo entre eles:
Passo 7
Igualando as duas expressões para o produto vetorial:
Novamente, dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, mostramos que:
e