Os dois vetores estão sobre o plano e fazem ângulos com o eixo . (a) Calculando de duas formas [a saber, usando (1.6) e (1.7)], mostre a identidade trigonométrica bem conhecida

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois vetores, e , que estão no plano e fazem ângulos e com o eixo . A gente precisa calcular o produto escalar desses vetores de duas maneiras diferentes usando as fórmulas (1.6) e (1.7) e, assim, mostrar uma identidade trigonométrica específica. Para isso, vamos precisar entender o que é o produto escalar e como ele pode ser calculado de formas diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de dois vetores pode ser calculado de duas maneiras:
  1. Usando as componentes dos vetores: Se e , então o produto escalar é . Essa é a fórmula (1.6).
  2. Usando as magnitudes dos vetores e o ângulo entre eles: Se e são os módulos dos vetores e é o ângulo entre eles, então . Essa é a fórmula (1.7).

Passo 3

Vamos aplicar a primeira forma, usando as componentes dos vetores. Como e estão no plano e fazem ângulos e com o eixo , suas componentes são:
Então, o produto escalar fica:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda forma do produto escalar, que envolve as magnitudes dos vetores e o ângulo entre eles. O ângulo entre e é , então:

Passo 5

Como ambas as expressões representam o mesmo produto escalar , podemos igualá-las:
Podemos cancelar (desde que não sejam zero):

Resposta

A identidade trigonométrica é:

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