Os dois vetores
estão sobre o plano
e fazem ângulos
com o eixo
. (a) Calculando
de duas formas [a saber, usando (1.6) e (1.7)], mostre a identidade trigonométrica bem conhecida
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois vetores,
e
, que estão no plano
e fazem ângulos
e
com o eixo
. A gente precisa calcular o produto escalar desses vetores de duas maneiras diferentes usando as fórmulas (1.6) e (1.7) e, assim, mostrar uma identidade trigonométrica específica. Para isso, vamos precisar entender o que é o produto escalar e como ele pode ser calculado de formas diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de dois vetores pode ser calculado de duas maneiras:
- Usando as componentes dos vetores: Se
e , então o produto escalar é . Essa é a fórmula (1.6). - Usando as magnitudes dos vetores e o ângulo entre eles: Se
e são os módulos dos vetores e é o ângulo entre eles, então . Essa é a fórmula (1.7).
Passo 3
Vamos aplicar a primeira forma, usando as componentes dos vetores. Como
e
estão no plano
e fazem ângulos
e
com o eixo
, suas componentes são:
Então, o produto escalar fica:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda forma do produto escalar, que envolve as magnitudes dos vetores e o ângulo entre eles. O ângulo entre
e
é
, então:
Passo 5
Como ambas as expressões representam o mesmo produto escalar
, podemos igualá-las:
Podemos cancelar
(desde que não sejam zero):
Resposta
A identidade trigonométrica é: