Um avião, que está voando horizontalmente a uma velocidade constante
e a uma altitude
, deve deixar cair um pacote de suprimentos para um náufrago em um pequeno barco. (a) Escreva a segunda lei de Newton para o pacote à medida que ele cai do avião, assumindo que você pode desprezar a resistência do ar. Resolva suas equações para determinar a posição do pacote no ar como uma função do tempo
. (b) A que distância antes do barco (medida horizontalmente) o piloto deve largar o pacote se este deve acertar o barco? Qual é essa distância se
e
? © Dentro de que intervalo de tempo (
) o piloto deve largar o pacote se este deve atingir o solo a aproximadamente
do barco?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve o movimento de um pacote deixado cair de um avião em voo horizontal. O conteúdo principal aqui é a cinemática e a segunda lei de Newton. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar as equações de movimento uniformemente acelerado para descrever a trajetória do pacote.
Passo 2
Parte (a): Primeiro, vamos escrever a segunda lei de Newton para o pacote enquanto ele cai. A segunda lei de Newton diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa do objeto vezes sua aceleração, ou seja:
Como estamos desprezando a resistência do ar, a única força atuando no pacote é a força da gravidade, que age na direção vertical (y). Portanto, podemos escrever as componentes das forças nas direções horizontal (x) e vertical (y):
- Na direção horizontal (x):
Isso significa que não há aceleração horizontal; o pacote mantém a velocidade horizontal constante
.
- Na direção vertical (y):
Aqui,
é a aceleração devida à gravidade.
Passo 3
Agora, vamos determinar a posição do pacote em função do tempo
.
- Movimento horizontal (x):
Como não há aceleração horizontal, a posição horizontal
pode ser descrita por:
- Movimento vertical (y):
O movimento vertical é uniformemente acelerado com aceleração
. A posição vertical
é dada por:
Aqui,
é a altitude inicial do pacote.
Passo 4
Parte (b): Queremos encontrar a distância horizontal antes do barco onde o piloto deve largar o pacote para que ele atinja o barco.
Para isso, precisamos determinar o tempo que o pacote leva para atingir o solo. Quando o pacote atinge o chão,
:
Resolvendo para
:
Agora, substituímos este tempo na equação horizontal para encontrar a distância
:
Vamos calcular essa distância com os valores fornecidos:
,
e
:
Passo 5
Parte ©: Agora, queremos saber dentro de que intervalo de tempo (
) o piloto deve largar o pacote para que ele atinja o solo a aproximadamente
do barco.
Primeiro, vamos relacionar a variação na posição horizontal (
) com a variação no tempo (
):
Queremos que
:
Resolvendo para
:
Resposta
(a) A posição do pacote em função do tempo
é
na horizontal e
na vertical.
(b) O piloto deve largar o pacote aproximadamente 224 metros antes do barco.
© O intervalo de tempo é
.