Um estudante chuta um bloco sem atrito com uma velocidade inicial
, de modo que ele desliza reto para cima ao longo de um plano que está inclinado com um ângulo
acima da horizontal. (a) Escreva a segunda lei de Newton para o bloco e resolva-a para obter a posição do bloco como uma função do tempo. (b) Quanto tempo o bloco levará até retornar à sua posição original?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco sendo chutado com uma velocidade inicial
em um plano inclinado sem atrito, com um ângulo
em relação à horizontal. A matéria que vamos usar aqui é a Segunda Lei de Newton, que fala sobre força, massa e aceleração. Vamos precisar das fórmulas de movimento uniforme e uniformemente acelerado para achar a posição do bloco em função do tempo e o tempo que ele leva para voltar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a Segunda Lei de Newton para o bloco. A Segunda Lei diz que a força resultante (
) é igual à massa (
) multiplicada pela aceleração (
):
No caso do bloco no plano inclinado, a única força que está atuando na direção do movimento (para cima do plano) é a componente do peso do bloco que age para baixo. Como não há atrito, essa é a única força que precisamos considerar.
Passo 3
Vamos calcular a componente da força gravitacional que atua ao longo do plano inclinado. O peso do bloco é
, onde
é a aceleração da gravidade (
). A componente ao longo do plano é:
Essa força está puxando o bloco para baixo, então a força resultante que está desacelerando o bloco é:
(O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao movimento inicial do bloco.)
Passo 4
Agora, usamos a Segunda Lei de Newton para encontrar a aceleração do bloco:
Podemos simplificar cancelando a massa
dos dois lados:
Então, a aceleração do bloco é
.
Passo 5
Com a aceleração conhecida, podemos encontrar a posição do bloco em função do tempo usando a equação do movimento uniformemente acelerado:
Aqui,
é a posição inicial, que vamos considerar como zero. Substituindo
pela aceleração encontrada:
Então, a posição do bloco em função do tempo é:
Passo 6
Agora, para a parte (b), queremos saber quanto tempo o bloco leva para voltar à posição original. Isso acontece quando a posição
volta a ser zero. Então, vamos resolver a equação:
Podemos fatorar
:
Isso dá duas soluções:
(o tempo inicial) e:
Resposta
O tempo que o bloco levará para retornar à posição original é: