Um estudante chuta um bloco sem atrito com uma velocidade inicial , de modo que ele desliza reto para cima ao longo de um plano que está inclinado com um ângulo acima da horizontal. (a) Escreva a segunda lei de Newton para o bloco e resolva-a para obter a posição do bloco como uma função do tempo. (b) Quanto tempo o bloco levará até retornar à sua posição original?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um bloco sendo chutado com uma velocidade inicial em um plano inclinado sem atrito, com um ângulo em relação à horizontal. A matéria que vamos usar aqui é a Segunda Lei de Newton, que fala sobre força, massa e aceleração. Vamos precisar das fórmulas de movimento uniforme e uniformemente acelerado para achar a posição do bloco em função do tempo e o tempo que ele leva para voltar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a Segunda Lei de Newton para o bloco. A Segunda Lei diz que a força resultante ( ) é igual à massa ( ) multiplicada pela aceleração ( ):
No caso do bloco no plano inclinado, a única força que está atuando na direção do movimento (para cima do plano) é a componente do peso do bloco que age para baixo. Como não há atrito, essa é a única força que precisamos considerar.

Passo 3

Vamos calcular a componente da força gravitacional que atua ao longo do plano inclinado. O peso do bloco é , onde é a aceleração da gravidade ( ). A componente ao longo do plano é:
Essa força está puxando o bloco para baixo, então a força resultante que está desacelerando o bloco é:
(O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao movimento inicial do bloco.)

Passo 4

Agora, usamos a Segunda Lei de Newton para encontrar a aceleração do bloco:
Podemos simplificar cancelando a massa dos dois lados:
Então, a aceleração do bloco é .

Passo 5

Com a aceleração conhecida, podemos encontrar a posição do bloco em função do tempo usando a equação do movimento uniformemente acelerado:
Aqui, é a posição inicial, que vamos considerar como zero. Substituindo pela aceleração encontrada:
Então, a posição do bloco em função do tempo é:

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos saber quanto tempo o bloco leva para voltar à posição original. Isso acontece quando a posição volta a ser zero. Então, vamos resolver a equação:
Podemos fatorar :
Isso dá duas soluções: (o tempo inicial) e:

Resposta

O tempo que o bloco levará para retornar à posição original é:

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