Mostre que, se é um vetor qualquer que depende do tempo (por exemplo, a velocidade de uma partícula) mas que possui magnitude constante, então é ortogonal a . Mostre o inverso, se é ortogonal a , então é constante. [Sugestão: considere a derivada de .] Esse é um resultado muito útil. Ele explica por que, em coordenadas polares bidimensionais, deve estar na direção de e vice-versa. Ele também mostra que a velocidade de uma partícula carregada em um campo magnético é constante, desde que a aceleração seja perpendicular à velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e ver sobre o que estamos falando. A questão fala sobre vetores que mudam com o tempo, tipo a velocidade de uma partícula. Queremos mostrar que se a velocidade desse vetor tem magnitude constante (ou seja, o tamanho não muda), então a derivada desse vetor em relação ao tempo é ortogonal (perpendicular) ao próprio vetor. E também fazer o contrário: se a derivada é ortogonal ao vetor, então a magnitude dele é constante.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a regra da derivada de um produto interno (produto escalar). Isso vai nos ajudar a manipular as expressões matemáticas e chegar nas conclusões desejadas.

Passo 2

Vamos começar supondo que a magnitude de é constante. Isso significa que o tamanho do vetor não muda com o tempo. Matematicamente, podemos escrever isso como:
Ou, elevando ao quadrado para facilitar a derivação:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo . Usando a regra da derivada do produto interno, temos:
Como a derivada do lado direito é zero (pois é uma constante), chegamos em:
Isso mostra que o vetor é ortogonal à sua derivada .

Passo 4

Agora, vamos mostrar o inverso: se é ortogonal a , então a magnitude de é constante. Sabemos que:
Isso significa que a derivada da magnitude ao quadrado é zero:
Integrando isso, concluímos que é uma constante, ou seja, é constante.

Resposta

Portanto, provamos que se um vetor tem magnitude constante, sua derivada é ortogonal a ele, e vice-versa. Isso é útil para entender movimentos em coordenadas polares e o comportamento de partículas em campos magn��ticos, onde a velocidade permanece constante enquanto a direção muda.

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