Mostre que, se
é um vetor qualquer que depende do tempo (por exemplo, a velocidade de uma partícula) mas que possui magnitude constante, então
é ortogonal a
. Mostre o inverso, se
é ortogonal a
, então
é constante. [Sugestão: considere a derivada de
.] Esse é um resultado muito útil. Ele explica por que, em coordenadas polares bidimensionais,
deve estar na direção de
e vice-versa. Ele também mostra que a velocidade de uma partícula carregada em um campo magnético é constante, desde que a aceleração seja perpendicular à velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e ver sobre o que estamos falando. A questão fala sobre vetores que mudam com o tempo, tipo a velocidade de uma partícula. Queremos mostrar que se a velocidade desse vetor tem magnitude constante (ou seja, o tamanho não muda), então a derivada desse vetor em relação ao tempo é ortogonal (perpendicular) ao próprio vetor. E também fazer o contrário: se a derivada é ortogonal ao vetor, então a magnitude dele é constante.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a regra da derivada de um produto interno (produto escalar). Isso vai nos ajudar a manipular as expressões matemáticas e chegar nas conclusões desejadas.
Passo 2
Vamos começar supondo que a magnitude de
é constante. Isso significa que o tamanho do vetor
não muda com o tempo. Matematicamente, podemos escrever isso como:
Ou, elevando ao quadrado para facilitar a derivação:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo
. Usando a regra da derivada do produto interno, temos:
Como a derivada do lado direito é zero (pois é uma constante), chegamos em:
Isso mostra que o vetor
é ortogonal à sua derivada
.
Passo 4
Agora, vamos mostrar o inverso: se
é ortogonal a
, então a magnitude de
é constante. Sabemos que:
Isso significa que a derivada da magnitude ao quadrado é zero:
Integrando isso, concluímos que
é uma constante, ou seja,
é constante.
Resposta
Portanto, provamos que se um vetor
tem magnitude constante, sua derivada
é ortogonal a ele, e vice-versa. Isso é útil para entender movimentos em coordenadas polares e o comportamento de partículas em campos magn��ticos, onde a velocidade permanece constante enquanto a direção muda.