Uma barra de sabão (massa ) está em repouso sobre uma placa retangular sem atrito, a qual está em repouso sobre uma mesa horizontal. No instante , começo a subir uma aresta da placa, com velocidade angular , de modo que ela prende na aresta oposta e o sabão começa a deslizar em direção à aresta que está abaixo. Mostre que a equação do movimento do sabão tem a forma sen , onde é a distância do sabão até a aresta inferior. Resolva essa equação para , sabendo que . [Você precisará se valer do método usado para resolver a Equação (5.48). Você pode facilmente resolver a equação homogênea; para uma solução particular, tente sen e resolva para .]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra de sabão descansando numa placa sem atrito que está sobre uma mesa. Quando começamos a girar uma das bordas da placa com uma velocidade angular , a barra de sabão começa a deslizar em direção à borda que está descendo. Nosso objetivo é mostrar que a equação do movimento da barra de sabão é e resolver essa equação para encontrar a posição da barra em função do tempo, sabendo que inicialmente a barra está na posição .
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de dinâmica de movimentos, especificamente sobre equações diferenciais que descrevem movimento oscilatório. Vamos usar métodos para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam na barra de sabão. Como a placa está girando com velocidade angular , a barra sente uma força centrípeta que tenta puxá-la para o centro da rotação (no caso, para a borda inferior). Além disso, a gravidade também atua na barra, tentando puxá-la para baixo.
A força centrípeta é dada por , onde é a distância da barra até a borda inferior.
A força da gravidade que age na barra é , onde é a aceleração da gravidade.
Aplicando a segunda lei de Newton , onde é a aceleração, temos:
Dividindo ambos os lados por , simplificamos para:
Rearranjando os termos:
E aí está a equação do movimento que precisamos resolver.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular da equação completa.
Equação Homogênea:
A solução dessa equação é da forma:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Uma boa tentativa é propor uma solução da forma:
Onde é uma constante que vamos determinar. Vamos derivar duas vezes:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo e na equação original:
Simplificando:
Cancelando de ambos os lados:
Resolvendo para :
Então, a solução particular é:

Passo 5

Agora, juntamos a solução homogênea ( ) e a solução particular ( ) para obter a solução geral da equação diferencial:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes e . Sabemos que no instante , a posição é . Vamos calcular :
Então, temos:
Também precisamos da condição para a velocidade inicial. Se a barra está inicialmente em repouso, então .
Calculando a derivada de :
Simplificando:
Agora, aplicamos :
Então:
Dividindo tudo por :

Passo 7

Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema somando as duas equações:
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 8

Agora que temos e , substituímos de volta na solução geral:
Podemos simplificar essa expressão:
Recognizing that and , podemos reescrever:

Resposta

A posição da barra de sabão em função do tempo é dada por:

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