Duas massas iguais, , estão conectadas por uma mola, de massa desprezível, de comprimento , que passa através de um orifício, em uma mesa horizontal sem atrito. A primeira massa desliza sobre a mesa, enquanto a segunda está pendurada abaixo da mesa e se move para cima e para baixo em uma linha vertical. Suponha que a primeira massa esteja movendo-se nessa trajetória circular e forneça um pequeno impulso radial. Escreva e reescreva a equação de em termos de , eliminando todas as potências de mais altas do que a linear. Mostre que a trajetória circular é estável e que oscila senoidalmente em torno de . Qual é a frequência de suas oscilações?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas massas iguais, , conectadas por uma mola de comprimento e massa desprezível. Uma das massas está se movendo em uma trajetória circular sobre uma mesa sem atrito, enquanto a outra está pendurada e se move verticalmente. A ideia é analisar pequenas variações no raio da trajetória circular, ou seja, escrever , onde é uma pequena perturbação. Precisamos reescrever a equação para em termos de , ignorando os termos de ordem superior a linear, mostrar que a trajetória circular é estável e descobrir a frequência das oscilações.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de dinâmica circular, forças envolvidas (como a força centrípeta e a força da mola) e um pouquinho de cálculo para lidar com as oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na força que mantém a massa em movimento circular. Para isso, usamos a força centrípeta, que é necessária para manter o movimento circular:
Onde:
  • é a força centrípeta
  • é a massa
  • é a velocidade tangencial
  • é o raio da trajetória
Como a massa está conectada a uma mola, a força da mola também está atuando no sistema. A força da mola é dada pela lei de Hooke:
Aqui, é a constante da mola e é a extensão ou compressão da mola a partir do comprimento natural .

Passo 3

Agora, vamos considerar que o raio da trajetória não é exatamente , mas sim , onde é uma pequena variação. Nosso objetivo é encontrar uma equação para e mostrar que ela oscila de forma senoidal.
Substituindo na equação da força centrípeta:
Assumindo que é pequena, podemos fazer uma expansão em série de Taylor e considerar apenas os termos lineares:
Portanto,

Passo 4

Igualmente, a força da mola considerando :
Agora, equilibrando as forças centrípeta e da mola na posição de equilíbrio :
Isso nos dá uma relação entre e :

Passo 5

Voltando à equação das variações, temos:
Substituindo :
Mas, a força resultante também está relacionada à aceleração radial:
Então, igualando as duas expressões:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial para :
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, que descreve oscilações harmônicas simples. A forma geral dessa equação é:
Comparando com a nossa equação, identificamos:
Portanto, a frequência angular das oscilações é:

Resposta

A frequência das oscilações é .

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