Duas massas iguais,
, estão conectadas por uma mola, de massa desprezível, de comprimento
, que passa através de um orifício, em uma mesa horizontal sem atrito. A primeira massa desliza sobre a mesa, enquanto a segunda está pendurada abaixo da mesa e se move para cima e para baixo em uma linha vertical. Suponha que a primeira massa esteja movendo-se nessa trajetória circular e forneça um pequeno impulso radial. Escreva
e reescreva a equação de
em termos de
, eliminando todas as potências de
mais altas do que a linear. Mostre que a trajetória circular é estável e que
oscila senoidalmente em torno de
. Qual é a frequência de suas oscilações?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas massas iguais,
, conectadas por uma mola de comprimento
e massa desprezível. Uma das massas está se movendo em uma trajetória circular sobre uma mesa sem atrito, enquanto a outra está pendurada e se move verticalmente. A ideia é analisar pequenas variações no raio da trajetória circular, ou seja, escrever
, onde
é uma pequena perturbação. Precisamos reescrever a equação para
em termos de
, ignorando os termos de ordem superior a linear, mostrar que a trajetória circular é estável e descobrir a frequência das oscilações.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de dinâmica circular, forças envolvidas (como a força centrípeta e a força da mola) e um pouquinho de cálculo para lidar com as oscilações.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na força que mantém a massa em movimento circular. Para isso, usamos a força centrípeta, que é necessária para manter o movimento circular:
Onde:
-
é a força centrípeta -
é a massa -
é a velocidade tangencial -
é o raio da trajetória
Como a massa está conectada a uma mola, a força da mola também está atuando no sistema. A força da mola é dada pela lei de Hooke:
Aqui,
é a constante da mola e
é a extensão ou compressão da mola a partir do comprimento natural
.
Passo 3
Agora, vamos considerar que o raio da trajetória não é exatamente
, mas sim
, onde
é uma pequena variação. Nosso objetivo é encontrar uma equação para
e mostrar que ela oscila de forma senoidal.
Substituindo
na equação da força centrípeta:
Assumindo que
é pequena, podemos fazer uma expansão em série de Taylor e considerar apenas os termos lineares:
Portanto,
Passo 4
Igualmente, a força da mola considerando
:
Agora, equilibrando as forças centrípeta e da mola na posição de equilíbrio
:
Isso nos dá uma relação entre
e
:
Passo 5
Voltando à equação das variações, temos:
Substituindo
:
Mas, a força resultante também está relacionada à aceleração radial:
Então, igualando as duas expressões:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, que descreve oscilações harmônicas simples. A forma geral dessa equação é:
Comparando com a nossa equação, identificamos:
Portanto, a frequência angular
das oscilações é:
Resposta
A frequência das oscilações é
.