Duas massas iguais, , estão conectadas por uma mola, de massa desprezível, de comprimento , que passa através de um orifício, em uma mesa horizontal sem atrito. A primeira massa desliza sobre a mesa, enquanto a segunda está pendurada abaixo da mesa e se move para cima e para baixo em uma linha vertical. Expresse em termos de e elimine a partir da equação de . Agora, use a equação de para determinar o valor no qual a primeira massa pode mover-se em uma trajetória circular. Interprete sua resposta em termos Newtonianos.

Passo 1

Então, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas massas iguais, , conectadas por uma mola sem massa, com comprimento . A mola passa por um orifício em uma mesa horizontal que não tem atrito. A primeira massa desliza na mesa, enquanto a segunda está pendurada e pode se mover para cima e para baixo verticalmente. Precisamos trabalhar com as velocidades angulares ( ) e a posição radial ( ) para encontrar um valor específico de onde a primeira massa se move em uma trajetória circular. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica circular e conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a velocidade angular com a posição radial . Sabemos que para um movimento circular, a velocidade tangencial está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
Aqui, é a distância radial da massa ao centro do círculo.

Passo 3

Agora, vamos considerar a equação de . A força centrípeta necessária para manter a massa se movendo em círculo é fornecida pela tensão na mola. A equação da força centrípeta é:
onde é a constante da mola e é a extensão ou compressão da mola.

Passo 4

Nos pedem para expressar em termos de . Vamos isolar na equação anterior:

Passo 5

A seguir, precisamos eliminar da equação de . Substituindo a expressão encontrada para na equação de força centrípeta:
Simplificando, vemos que a massa e o raio se cancelam, resultando numa relação que confirma a consistência das equações.

Passo 6

Agora, para encontrar o valor onde a primeira massa se move em uma trajetória circular estável, precisamos equilibrar as forças. Nesse ponto, a extensão da mola será tal que a força centrípeta iguala a força restauradora da mola. Assumindo equilíbrio, temos:
Usando a expressão de que encontramos:
Simplificando novamente, confirmamos que a relação se mantém, indicando que a configuração está em equilíbrio.

Resposta

O valor de onde a primeira massa se move em uma trajetória circular estável é determinado pela condição de equilíbrio entre a força centrípeta e a força restauradora da mola, resultando em:
Essa relação mostra que, em termos Newtonianos, a distância depende diretamente da constante da mola, da extensão da mola, e inversamente da massa e do quadrado da velocidade angular. Isso significa que aumentando a rigidez da mola ou diminuindo a massa faz com que aumente, permitindo que a massa se mova em um círculo maior.

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