Duas massas iguais,
, estão conectadas por uma mola, de massa desprezível, de comprimento
, que passa através de um orifício, em uma mesa horizontal sem atrito. A primeira massa desliza sobre a mesa, enquanto a segunda está pendurada abaixo da mesa e se move para cima e para baixo em uma linha vertical. Expresse
em termos de
e elimine
a partir da equação de
. Agora, use a equação de
para determinar o valor
no qual a primeira massa pode mover-se em uma trajetória circular. Interprete sua resposta em termos Newtonianos.
Passo 1
Então, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas massas iguais,
, conectadas por uma mola sem massa, com comprimento
. A mola passa por um orifício em uma mesa horizontal que não tem atrito. A primeira massa desliza na mesa, enquanto a segunda está pendurada e pode se mover para cima e para baixo verticalmente. Precisamos trabalhar com as velocidades angulares (
) e a posição radial (
) para encontrar um valor específico de
onde a primeira massa se move em uma trajetória circular. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica circular e conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar a velocidade angular
com a posição radial
. Sabemos que para um movimento circular, a velocidade tangencial
está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
Aqui,
é a distância radial da massa ao centro do círculo.
Passo 3
Agora, vamos considerar a equação de
. A força centrípeta necessária para manter a massa se movendo em círculo é fornecida pela tensão na mola. A equação da força centrípeta é:
onde
é a constante da mola e
é a extensão ou compressão da mola.
Passo 4
Nos pedem para expressar
em termos de
. Vamos isolar
na equação anterior:
Passo 5
A seguir, precisamos eliminar
da equação de
. Substituindo a expressão encontrada para
na equação de força centrípeta:
Simplificando, vemos que a massa
e o raio
se cancelam, resultando numa relação que confirma a consistência das equações.
Passo 6
Agora, para encontrar o valor
onde a primeira massa se move em uma trajetória circular estável, precisamos equilibrar as forças. Nesse ponto, a extensão da mola
será tal que a força centrípeta iguala a força restauradora da mola. Assumindo equilíbrio, temos:
Usando a expressão de
que encontramos:
Simplificando novamente, confirmamos que a relação se mantém, indicando que a configuração está em equilíbrio.
Resposta
O valor de
onde a primeira massa se move em uma trajetória circular estável é determinado pela condição de equilíbrio entre a força centrípeta e a força restauradora da mola, resultando em:
Essa relação mostra que, em termos Newtonianos, a distância
depende diretamente da constante da mola, da extensão da mola, e inversamente da massa e do quadrado da velocidade angular. Isso significa que aumentando a rigidez da mola ou diminuindo a massa faz com que
aumente, permitindo que a massa se mova em um círculo maior.