Para uma bola de aço (diâmetro 2 mm e densidade
) deixada cair em glicerina (densidade
e viscosidade
a CNTP), a força dominante é o arrasto linear dado por (2.82) do Problema 2.2. (a) Determine o tempo característico
e a velocidade limite
. [Na determinação da última, você deve incluir a força de empuxo de Arquimedes. Isso apenas adiciona uma terceira força no lado direito da Equação (2.25).] Quanto tempo após ter sido largada a partir do repouso a bola terá alcançado
da sua velocidade limite? (b) Use (2.82) e (2.84) (com
já que a bola em queda é uma esfera) para calcular a razão
para a velocidade limite. Qual será uma boa aproximação para se desprezar
?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma bola de aço com diâmetro de 2 mm e densidade de
sendo soltada na glicerina, que possui densidade de
e viscosidade de
nas condições normais de temperatura e pressão (CNTP). O conteúdo principal aqui envolve mecânica de fluidos, especificamente o estudo das forças que atuam sobre um objeto em queda num fluido, como a força de arrasto e a força de empuxo de Arquimedes. Vamos precisar usar fórmulas relacionadas à força de arrasto linear e às leis de Newton para resolver este problema.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
- Diâmetro da bola (
): - Raio da bola (
): - Densidade da bola de aço (
): - Densidade da glicerina (
): - Viscosidade da glicerina (
):
Passo 3
Vamos determinar o tempo característico (
). Esse tempo representa quanto tempo leva para a bola atingir uma fração significativa de sua velocidade terminal.
A força de arrasto linear é dada por:
onde
é o coeficiente de arrasto linear. Para uma esfera, esse coeficiente pode ser calculado usando a Lei de Stokes:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos o volume da bola (
):
A massa da bola (
) é:
Finalmente, o tempo característico (
) é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a velocidade limite (
). Na velocidade terminal, a força resultante sobre a bola é zero, ou seja:
Onde:
Substituindo na equação:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Ou seja, aproximadamente
.
Passo 5
Vamos agora calcular o tempo necessário para a bola atingir 95% da sua velocidade limite. A equação da velocidade em função do tempo para movimento com arrasto linear é:
Queremos encontrar o tempo
quando
:
Ou seja, aproximadamente
.
Passo 6
Para a parte (b), precisamos calcular a razão
na velocidade terminal. Aqui,
é a força de arrasto quadrática e
é a força de arrasto linear.
A força de arrasto quadrática é dada por:
onde:
-
para uma esfera, -
é a densidade do fluido, -
é a área de seção transversal da esfera.
Já a força de arrasto linear é:
A razão é então:
Calculando
:
Substituindo os valores:
Portanto, a razão
, ou cerca de
.
Isso indica que a força de arrasto quadrática é muito pequena comparada à força de arrasto linear na velocidade terminal. Uma boa aproximação para desprezar
é quando essa razão é significativamente menor que 1, por exemplo, abaixo de
. No nosso caso, como
é bem baixo, podemos desprezar a força de arrasto quadrática.
Resposta
(a) O tempo característico
é aproximadamente
, a velocidade limite
é cerca de
e a bola atinge
da velocidade limite após aproximadamente
.
(b) A razão
na velocidade limite é aproximadamente
. Assim, uma boa aproximação é desprezar
quando essa razão for significativamente menor que 1%, o que é o caso neste cenário.