Para uma bola de aço (diâmetro 2 mm e densidade ) deixada cair em glicerina (densidade e viscosidade a CNTP), a força dominante é o arrasto linear dado por (2.82) do Problema 2.2. (a) Determine o tempo característico e a velocidade limite . [Na determinação da última, você deve incluir a força de empuxo de Arquimedes. Isso apenas adiciona uma terceira força no lado direito da Equação (2.25).] Quanto tempo após ter sido largada a partir do repouso a bola terá alcançado da sua velocidade limite? (b) Use (2.82) e (2.84) (com já que a bola em queda é uma esfera) para calcular a razão para a velocidade limite. Qual será uma boa aproximação para se desprezar ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma bola de aço com diâmetro de 2 mm e densidade de sendo soltada na glicerina, que possui densidade de e viscosidade de nas condições normais de temperatura e pressão (CNTP). O conteúdo principal aqui envolve mecânica de fluidos, especificamente o estudo das forças que atuam sobre um objeto em queda num fluido, como a força de arrasto e a força de empuxo de Arquimedes. Vamos precisar usar fórmulas relacionadas à força de arrasto linear e às leis de Newton para resolver este problema.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Diâmetro da bola ( ):
  • Raio da bola ( ):
  • Densidade da bola de aço ( ):
  • Densidade da glicerina ( ):
  • Viscosidade da glicerina ( ):

Passo 3

Vamos determinar o tempo característico ( ). Esse tempo representa quanto tempo leva para a bola atingir uma fração significativa de sua velocidade terminal.
A força de arrasto linear é dada por:
onde é o coeficiente de arrasto linear. Para uma esfera, esse coeficiente pode ser calculado usando a Lei de Stokes:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos o volume da bola ( ):
A massa da bola ( ) é:
Finalmente, o tempo característico ( ) é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade limite ( ). Na velocidade terminal, a força resultante sobre a bola é zero, ou seja:
Onde:
Substituindo na equação:
Resolvendo para :
Substituindo os valores:
Ou seja, aproximadamente .

Passo 5

Vamos agora calcular o tempo necessário para a bola atingir 95% da sua velocidade limite. A equação da velocidade em função do tempo para movimento com arrasto linear é:
Queremos encontrar o tempo quando :
Ou seja, aproximadamente .

Passo 6

Para a parte (b), precisamos calcular a razão na velocidade terminal. Aqui, é a força de arrasto quadrática e é a força de arrasto linear.
A força de arrasto quadrática é dada por:
onde:
  • para uma esfera,
  • é a densidade do fluido,
  • é a área de seção transversal da esfera.
Já a força de arrasto linear é:
A razão é então:
Calculando :
Substituindo os valores:
Portanto, a razão , ou cerca de .
Isso indica que a força de arrasto quadrática é muito pequena comparada à força de arrasto linear na velocidade terminal. Uma boa aproximação para desprezar é quando essa razão é significativamente menor que 1, por exemplo, abaixo de . No nosso caso, como é bem baixo, podemos desprezar a força de arrasto quadrática.

Resposta

(a) O tempo característico é aproximadamente , a velocidade limite é cerca de e a bola atinge da velocidade limite após aproximadamente .
(b) A razão na velocidade limite é aproximadamente . Assim, uma boa aproximação é desprezar quando essa razão for significativamente menor que 1%, o que é o caso neste cenário.

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