O teorema de Taylor afirma que, para qualquer função razoável , o valor de em um ponto pode ser expresso como uma série infinita envolvendo e suas derivadas no ponto :
onde as plicas denotam derivadas sucessivas de . (Dependendo da função, essa série pode convergir para qualquer incremento ou apenas para valores de menores que algum “raio de convergência” não nulo.) Esse teorema é extremamente útil, especialmente para valores pequenos de , quando o primeiro ou os dois primeiros termos da série dão geralmente uma excelente aproximação. (a) Determine a série de Taylor para .

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa encontrar a série de Taylor para a função . Isso significa que vamos expandir essa função em uma série infinita utilizando derivadas. Para isso, vamos usar o conceito de séries de Taylor e calcular as derivadas necessárias da função .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas da função em relação a . A gente precisa das derivadas até o que dá pra ver o padrão:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
  • Quarta derivada:
Vendo esse padrão, podemos generalizar que a -ésima derivada é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da série de Taylor para expandir em torno de :
Calculando cada termo:
  • E assim por diante…
Substituindo esses valores na série:
Simplificando:

Resposta

A série de Taylor para é:

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