O teorema de Taylor afirma que, para qualquer função razoável
, o valor de
em um ponto
pode ser expresso como uma série infinita envolvendo
e suas derivadas no ponto
:
onde as plicas denotam derivadas sucessivas de
. (Dependendo da função, essa série pode convergir para qualquer incremento
ou apenas para valores de
menores que algum “raio de convergência” não nulo.) Esse teorema é extremamente útil, especialmente para valores pequenos de
, quando o primeiro ou os dois primeiros termos da série dão geralmente uma excelente aproximação.
(a) Determine a série de Taylor para
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa encontrar a série de Taylor para a função
. Isso significa que vamos expandir essa função em uma série infinita utilizando derivadas. Para isso, vamos usar o conceito de séries de Taylor e calcular as derivadas necessárias da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas da função
em relação a
. A gente precisa das derivadas até o que dá pra ver o padrão:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Vendo esse padrão, podemos generalizar que a
-ésima derivada é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula da série de Taylor para expandir
em torno de
:
Calculando cada termo:
-
-
-
-
- E assim por diante…
Substituindo esses valores na série:
Simplificando:
Resposta
A série de Taylor para
é: