A origem da força de arrasto quadrática sobre qualquer partícula em um fluido é a inércia do fluido que o projétil impulsiona. (a) Considerando que o projétil tem uma área de seção transversal
(normal à sua velocidade) e velocidade
, e que a densidade do fluido é
, mostre que a taxa na qual o projétil enfrenta o fluido (massa/tempo) é
. (b) Fazendo a suposição simplificadora de que todo o fluido é acelerado a uma velocidade
do projétil, mostre que a força de arrasto resultante sobre o projétil é
. Certamente, não é verdade que todo o fluido que o projétil encontra é acelerado até a velocidade total
, mas devemos estimar que a força deveria, na realidade, ter a forma
onde
é um número menor do que 1 , que depende da forma do projétil, com
pequeno para um corpo longilíneo e grande para um corpo longo com frente planar. Isso se mostra verdadeiro e, para uma esfera, o fator
é determinado como sendo
. © Mostre que (2.84) reproduz a forma (2.3) para
, com
dado em (2.4) da forma
. Sabendo-se que a densidade do ar em CNTP é
e que
para a esfera, verifique o valor de
dado em (2.6).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a força de arrasto quadrática que atua sobre um projétil em um fluido, como o ar. Vamos precisar usar conceitos de dinâmica dos fluidos, especificamente sobre como a massa do fluido interage com o projétil e como isso gera força de arrasto. Vamos resolver as partes (a), (b) e © passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Precisamos mostrar que a taxa na qual o projétil encontra o fluido é
.
Primeiro, vamos entender o que significa essa taxa de captura de massa. Imagine que o projétil está se movendo através do fluido com uma velocidade
e tem uma área de seção transversal
. A densidade do fluido é
, que é a massa por unidade de volume.
A taxa de captura de massa é basicamente a quantidade de massa de fluido que passa pela seção transversal do projétil por unidade de tempo.
Para calcular isso, consideramos que em um pequeno intervalo de tempo
, o projétil se move uma distância
. O volume de fluido que passa pela área
nesse tempo é:
Multiplicando o volume pela densidade
, obtemos a massa de fluido que interage com o projétil nesse intervalo de tempo:
Para encontrar a taxa de captura de massa (massa por tempo), dividimos pela variação de tempo
:
Então, mostramos que a taxa é
.
Passo 3
Parte (b): Agora, vamos mostrar que a força de arrasto resultante sobre o projétil é
, assumindo que todo o fluido é acelerado à velocidade
do projétil.
A força de arrasto pode ser entendida como a mudança no momento do fluido que o projétil está empurrando. O momento é dado por massa vezes velocidade.
Já vimos que a taxa de captura de massa é
. Se cada unidade de massa do fluido está sendo acelerada até a velocidade
, a mudança no momento por unidade de tempo (isto é, a força) será:
Portanto, a força de arrasto é
.
No entanto, o enunciado menciona que essa é uma simplificação, já que nem todo o fluido atinge a velocidade total
. Por isso, introduzimos o fator
, que ajusta essa força para refletir a realidade:
Onde
depende da forma do projétil.
Passo 4
Parte ©: Agora, precisamos mostrar que a equação que obtivemos se encaixa na forma geral dada pela equação (2.3) do material, que é
, onde
. Precisamos verificar o valor de
usando os dados fornecidos.
Começamos relacionando as duas expressões para
:
Comparando os coeficientes de
:
Sabemos que
é a área de seção transversal, que para uma esfera de diâmetro
é:
Substituindo na expressão de
:
Segundo o enunciado,
, então:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
e
para uma esfera.
Calculando o valor numérico:
Então, verificamos que
, que é o valor dado em (2.6).
Resposta
Resumindo, mostramos que:
(a) A taxa na qual o projétil encontra o fluido é
.
(b) A força de arrasto resultante é
, ajustada por um fator
.
© Verificamos que
, confirmando o valor dado no material.