A origem da força de arrasto quadrática sobre qualquer partícula em um fluido é a inércia do fluido que o projétil impulsiona. (a) Considerando que o projétil tem uma área de seção transversal (normal à sua velocidade) e velocidade , e que a densidade do fluido é , mostre que a taxa na qual o projétil enfrenta o fluido (massa/tempo) é . (b) Fazendo a suposição simplificadora de que todo o fluido é acelerado a uma velocidade do projétil, mostre que a força de arrasto resultante sobre o projétil é . Certamente, não é verdade que todo o fluido que o projétil encontra é acelerado até a velocidade total , mas devemos estimar que a força deveria, na realidade, ter a forma
onde é um número menor do que 1 , que depende da forma do projétil, com pequeno para um corpo longilíneo e grande para um corpo longo com frente planar. Isso se mostra verdadeiro e, para uma esfera, o fator é determinado como sendo . © Mostre que (2.84) reproduz a forma (2.3) para , com dado em (2.4) da forma . Sabendo-se que a densidade do ar em CNTP é e que para a esfera, verifique o valor de dado em (2.6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a força de arrasto quadrática que atua sobre um projétil em um fluido, como o ar. Vamos precisar usar conceitos de dinâmica dos fluidos, especificamente sobre como a massa do fluido interage com o projétil e como isso gera força de arrasto. Vamos resolver as partes (a), (b) e © passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Precisamos mostrar que a taxa na qual o projétil encontra o fluido é .
Primeiro, vamos entender o que significa essa taxa de captura de massa. Imagine que o projétil está se movendo através do fluido com uma velocidade e tem uma área de seção transversal . A densidade do fluido é , que é a massa por unidade de volume.
A taxa de captura de massa é basicamente a quantidade de massa de fluido que passa pela seção transversal do projétil por unidade de tempo.
Para calcular isso, consideramos que em um pequeno intervalo de tempo , o projétil se move uma distância . O volume de fluido que passa pela área nesse tempo é:
Multiplicando o volume pela densidade , obtemos a massa de fluido que interage com o projétil nesse intervalo de tempo:
Para encontrar a taxa de captura de massa (massa por tempo), dividimos pela variação de tempo :
Então, mostramos que a taxa é .

Passo 3

Parte (b): Agora, vamos mostrar que a força de arrasto resultante sobre o projétil é , assumindo que todo o fluido é acelerado à velocidade do projétil.
A força de arrasto pode ser entendida como a mudança no momento do fluido que o projétil está empurrando. O momento é dado por massa vezes velocidade.
Já vimos que a taxa de captura de massa é . Se cada unidade de massa do fluido está sendo acelerada até a velocidade , a mudança no momento por unidade de tempo (isto é, a força) será:
Portanto, a força de arrasto é .
No entanto, o enunciado menciona que essa é uma simplificação, já que nem todo o fluido atinge a velocidade total . Por isso, introduzimos o fator , que ajusta essa força para refletir a realidade:
Onde depende da forma do projétil.

Passo 4

Parte ©: Agora, precisamos mostrar que a equação que obtivemos se encaixa na forma geral dada pela equação (2.3) do material, que é , onde . Precisamos verificar o valor de usando os dados fornecidos.
Começamos relacionando as duas expressões para :
Comparando os coeficientes de :
Sabemos que é a área de seção transversal, que para uma esfera de diâmetro é:
Substituindo na expressão de :
Segundo o enunciado, , então:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, vamos substituir os valores fornecidos: e para uma esfera.
Calculando o valor numérico:
Então, verificamos que , que é o valor dado em (2.6).

Resposta

Resumindo, mostramos que:
(a) A taxa na qual o projétil encontra o fluido é .
(b) A força de arrasto resultante é , ajustada por um fator .
© Verificamos que , confirmando o valor dado no material.

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