Uma massa tem velocidade no instante e move-se ao longo do eixo em um meio onde a força de arrasto é . Use o método do Problema 2.7 para determinar em termos do tempo e dos demais parâmetros. Para que valor de (se algum) a massa irá alcançar o repouso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma massa que está se movendo com uma velocidade inicial no tempo . Ela está se movendo ao longo do eixo em um meio que oferece uma força de arrasto proporcionada por . Nosso objetivo é descobrir como a velocidade da massa varia com o tempo usando um método que provavelmente envolve resolver uma equação diferencial. Também queremos saber em que tempo, se for o caso, a massa vai parar completamente.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica clássica, especificamente a Segunda Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Além disso, vamos precisar resolver uma equação diferencial para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa multiplicada pela aceleração :
Como a força de arrasto é , temos:
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, . Então, substituindo, temos:

Passo 3

Agora, vamos reescrever essa equação para separar as variáveis e . Dividindo ambos os lados por e multiplicando por , obtemos:

Passo 4

O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar de para no lado esquerdo e de para no lado direito:

Passo 5

Vamos resolver as integrais. A integral de em relação a é:
E a integral de é simplesmente . Aplicando os limites de integração:

Passo 6

Vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por 2:

Passo 7

Agora, vamos inverter ambos os lados para resolver para :
Elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar :

Passo 8

Simplificando a expressão, podemos escrever:
Ou, de forma mais elegante:

Resposta

Portanto, a velocidade da massa em função do tempo é:
Para determinar quando a massa alcança o repouso, observamos que tende a zero quando tende ao infinito. Ou seja, a massa nunca para completamente em um tempo finito; ela simplesmente vai desacelerando cada vez mais à medida que o tempo aumenta.

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