Uma massa
tem velocidade
no instante
e move-se ao longo do eixo
em um meio onde a força de arrasto é
. Use o método do Problema 2.7 para determinar
em termos do tempo
e dos demais parâmetros. Para que valor de
(se algum) a massa irá alcançar o repouso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma massa
que está se movendo com uma velocidade inicial
no tempo
. Ela está se movendo ao longo do eixo
em um meio que oferece uma força de arrasto proporcionada por
. Nosso objetivo é descobrir como a velocidade
da massa varia com o tempo
usando um método que provavelmente envolve resolver uma equação diferencial. Também queremos saber em que tempo, se for o caso, a massa vai parar completamente.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica clássica, especificamente a Segunda Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Além disso, vamos precisar resolver uma equação diferencial para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante
sobre um objeto é igual à massa
multiplicada pela aceleração
:
Como a força de arrasto é
, temos:
Sabemos que a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
. Então, substituindo, temos:
Passo 3
Agora, vamos reescrever essa equação para separar as variáveis
e
. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, obtemos:
Passo 4
O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar de
para
no lado esquerdo e de
para
no lado direito:
Passo 5
Vamos resolver as integrais. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
é simplesmente
. Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 2:
Passo 7
Agora, vamos inverter ambos os lados para resolver para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar
:
Passo 8
Simplificando a expressão, podemos escrever:
Ou, de forma mais elegante:
Resposta
Portanto, a velocidade da massa em função do tempo é:
Para determinar quando a massa alcança o repouso, observamos que
tende a zero quando
tende ao infinito. Ou seja, a massa nunca para completamente em um tempo finito; ela simplesmente vai desacelerando cada vez mais à medida que o tempo aumenta.