[Computador] A Equação (2.39) sobre o alcance de um projétil em um meio linear não pode ser resolvida analiticamente em termos de funções elementares. Se você puser números para os vários parâmetros, então ela pode ser resolvida numericamente usando algum dos vários sistemas computacionais como Mathematica, Maple e MatLab. Para praticar, faça o
seguinte: considere um projétil lançado com um ângulo acima do solo horizontal, com velocidade inicial em um meio linear. Escolha unidades tais que . Suponha também que a velocidade limite seja . ( , a resistência do ar deve ser razoavelmente importante.) Sabemos que, no vácuo, o alcance máximo ocorre para . (a) Qual é o alcance máximo no vácuo? (b) Resolva agora (2.39) para o alcance no meio dado para o mesmo ângulo . © Tão logo você tenha a sua calculadora funcionando, repita isso para uma coleção de valores de dentro da qual o alcance máximo provavelmente se encontre. (Você pode tentar .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o alcance de um projétil lançado com certa velocidade e ângulo, tanto no vácuo quanto em um meio com resistência do ar. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática, como fórmulas de alcance, e também entender como a resistência do ar afeta o movimento. Vamos resolver as partes (a), (b) e © passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Qual é o alcance máximo no vácuo?
No vácuo, a resistência do ar não interfere, então podemos usar a fórmula clássica do alcance máximo de um projétil:
Aqui:
  • (velocidade inicial)
  • (aceleração da gravidade)
  • (ângulo de lançamento)
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos na fórmula do alcance:

Passo 3

Parte (b): Alcance no meio com resistência para o ângulo radianos
Aqui, a resistência do ar está presente e modelada de forma linear. A equação do movimento para o alcance em um meio linearmente resistente é dada pela equação (2.39), que não pode ser resolvida analiticamente. Então, precisamos resolver numericamente.
Para resolver numericamente, podemos usar métodos como o método de Newton-Raphson ou ferramentas computacionais como Mathematica, Maple ou MatLab. Vamos considerar que estamos usando uma calculadora ou software para encontrar quando rad.
Infelizmente, sem a expressão exata da equação (2.39), não podemos demonstrar os passos matemáticos aqui, mas o procedimento geral seria:
  1. Substituir os valores conhecidos na equação (2.39):
    • rad
  2. Utilizar um método numérico para resolver a equação para .

Passo 4

Parte ©: Calcular o alcance para vários valores de
Depois de configurar a calculadora ou software para resolver a equação numericamente, repetir o processo para diferentes valores de dentro do intervalo sugerido (por exemplo, radianos).
Isso nos permitirá encontrar o ângulo que realmente maximiza o alcance no meio com resistência do ar, que provavelmente estará próximo de radianos, mas pode variar devido à influência da resistência.

Resposta

(a) O alcance máximo no vácuo é unidade.

Exercícios de Livros Relacionados