Uma bola de borracha é largada, sem velocidade inicial, de uma altura
acima de um plano horizontal. Após cada colisão com o plano a bola é projetada para cima, atingindo uma altura
, onde
é a altura antes de uma dada colisão e y é a altura atingida depois da colisão considerada. Determine: o tempo total
do percurso mencionado no item (a). Referência: Capítulo 4 do Livro “Cálculo I” do Prof. L.P.M.Maia, Departamento de Física Matemática, Instituto de Física, UFRJ. 1978
Passo 1
Então, galera, o que a gente tem aqui é uma bola de borracha que é largada de uma altura de
sem velocidade inicial. Quando a bola bate no chão, ela sobe novamente, mas não até a altura inicial. Em vez disso, ela atinge uma altura de
, onde
é a altura anterior. Nosso objetivo é descobrir o tempo total
que a bola leva para todo esse percurso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento uniformemente acelerado e séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento da bola. Quando a bola é largada, ela cai livremente sob a ação da gravidade. A fórmula para o tempo de queda de uma altura
é
, onde
é a aceleração da gravidade (
).
Passo 3
Após a primeira queda, a bola bate no chão e sobe até uma altura de
. A subida também leva um tempo
.
Passo 4
Agora, percebemos que cada ciclo de queda e subida seguinte forma uma sequência geométrica, onde a altura diminui pela razão
a cada bounce. Então, o tempo total
é a soma do tempo de cada queda e subida.
Passo 5
Vamos chamar o tempo da primeira queda de
. Depois, cada ciclo de queda e subida seguinte terá um tempo menor, seguindo a razão
.
Passo 6
A soma infinita dos tempos pode ser representada como:
Aqui, multiplicamos por 2 porque a cada ciclo temos uma queda e uma subida.
Passo 7
Essa é uma série geométrica infinita com a primeira parcela
e a razão
. A soma de uma série geométrica infinita é dada por
, desde que
.
Passo 8
Calculando a razão
:
Como
, a série não converge, o que indica que o tempo total
seria infinito. Mas na prática, físicas reais limitam o número de bounces devido a perdas de energia, porém, conforme o enunciado, estamos considerando um número infinito de bounces.
Passo 9
Portanto, de acordo com o modelo idealizado do exercício, o tempo total
do percurso é infinito.
Resposta
O tempo total
do percurso é infinito.