Uma bola de borracha é largada, sem velocidade inicial, de uma altura acima de um plano horizontal. Após cada colisão com o plano a bola é projetada para cima, atingindo uma altura , onde é a altura antes de uma dada colisão e y é a altura atingida depois da colisão considerada. Determine: o tempo total do percurso mencionado no item (a). Referência: Capítulo 4 do Livro “Cálculo I” do Prof. L.P.M.Maia, Departamento de Física Matemática, Instituto de Física, UFRJ. 1978

Passo 1

Então, galera, o que a gente tem aqui é uma bola de borracha que é largada de uma altura de sem velocidade inicial. Quando a bola bate no chão, ela sobe novamente, mas não até a altura inicial. Em vez disso, ela atinge uma altura de , onde é a altura anterior. Nosso objetivo é descobrir o tempo total que a bola leva para todo esse percurso. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento uniformemente acelerado e séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento da bola. Quando a bola é largada, ela cai livremente sob a ação da gravidade. A fórmula para o tempo de queda de uma altura é , onde é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 3

Após a primeira queda, a bola bate no chão e sobe até uma altura de . A subida também leva um tempo .

Passo 4

Agora, percebemos que cada ciclo de queda e subida seguinte forma uma sequência geométrica, onde a altura diminui pela razão a cada bounce. Então, o tempo total é a soma do tempo de cada queda e subida.

Passo 5

Vamos chamar o tempo da primeira queda de . Depois, cada ciclo de queda e subida seguinte terá um tempo menor, seguindo a razão .

Passo 6

A soma infinita dos tempos pode ser representada como:
Aqui, multiplicamos por 2 porque a cada ciclo temos uma queda e uma subida.

Passo 7

Essa é uma série geométrica infinita com a primeira parcela e a razão . A soma de uma série geométrica infinita é dada por , desde que .

Passo 8

Calculando a razão :
Como , a série não converge, o que indica que o tempo total seria infinito. Mas na prática, físicas reais limitam o número de bounces devido a perdas de energia, porém, conforme o enunciado, estamos considerando um número infinito de bounces.

Passo 9

Portanto, de acordo com o modelo idealizado do exercício, o tempo total do percurso é infinito.

Resposta

O tempo total do percurso é infinito.

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