Uma bola de golfe é atirada do nível do solo com uma velocidade na direção leste e com um ângulo acima da horizontal. Desprezando a resistência do ar, use a segunda lei de Newton (1.35) para determinar a posição como uma função do tempo, usando coordenadas onde mede na direção leste, , na direção norte e , verticalmente para cima. Determine o tempo para a bola de golfe retornar ao solo e qual o alcance da bola para esse tempo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma bola de golfe que é lançada do chão com uma velocidade inicial na direção leste e com um ângulo acima da horizontal. Nosso objetivo é usar a segunda lei de Newton para descobrir onde a bola estará em função do tempo, além de calcular quanto tempo ela leva para voltar ao solo e qual é a distância que ela percorre nesse tempo.
Matéria envolvida: Mecânica – Movimento de Projetil.
O que precisamos: Entender como decompor as velocidades, aplicar as equações do movimento uniformemente acelerado e usar a segunda lei de Newton para resolver o problema.

Passo 2

Vamos começar decompondo a velocidade inicial nas direções que a bola vai se mover. Como temos três direções (leste, norte e vertical), mas a bola não se move na direção norte, só precisamos olhar para leste ( ) e verticalmente para cima ( ).
  • Velocidade na direção leste ( ):
  • Velocidade na direção vertical ( ):

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada direção. Lembrando que a segunda lei nos diz que a força é igual à massa vezes a aceleração ( ).
  • Na direção leste ( ):
    • Não tem força atuando (desprezamos a resistência do ar), então a aceleração é zero.
  • Na direção vertical ( ):
    • Só a gravidade está atuando, puxando a bola para baixo.
    Onde é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 4

Com as acelerações definidas, vamos escrever as equações de posição em função do tempo para cada direção usando as equações do movimento uniformemente acelerado.
  • Posição na direção leste ( ):
  • Posição na direção vertical ( ):

Passo 5

Para descobrir quanto tempo a bola leva para voltar ao solo, precisamos encontrar o instante em que a posição vertical é igual a zero.
Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções:
  1. (no momento do lançamento)
Resolvendo para :
Então, o tempo para a bola retornar ao solo é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o alcance da bola, ou seja, a distância que ela percorre na direção leste durante esse tempo.
Usando a identidade trigonométrica , podemos simplificar:

Resposta

O tempo para a bola de golfe retornar ao solo é e o alcance da bola é .

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