Uma bola de golfe é atirada do nível do solo com uma velocidade
na direção leste e com um ângulo
acima da horizontal. Desprezando a resistência do ar, use a segunda lei de Newton (1.35) para determinar a posição como uma função do tempo, usando coordenadas onde
mede na direção leste,
, na direção norte e
, verticalmente para cima. Determine o tempo para a bola de golfe retornar ao solo e qual o alcance da bola para esse tempo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma bola de golfe que é lançada do chão com uma velocidade inicial
na direção leste e com um ângulo
acima da horizontal. Nosso objetivo é usar a segunda lei de Newton para descobrir onde a bola estará em função do tempo, além de calcular quanto tempo ela leva para voltar ao solo e qual é a distância que ela percorre nesse tempo.
Matéria envolvida: Mecânica – Movimento de Projetil.
O que precisamos: Entender como decompor as velocidades, aplicar as equações do movimento uniformemente acelerado e usar a segunda lei de Newton para resolver o problema.
Passo 2
Vamos começar decompondo a velocidade inicial nas direções que a bola vai se mover. Como temos três direções (leste, norte e vertical), mas a bola não se move na direção norte, só precisamos olhar para leste (
) e verticalmente para cima (
).
-
Velocidade na direção leste (
): -
Velocidade na direção vertical (
):
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada direção. Lembrando que a segunda lei nos diz que a força é igual à massa vezes a aceleração (
).
-
Na direção leste (
): - Não tem força atuando (desprezamos a resistência do ar), então a aceleração é zero.
-
Na direção vertical (
): - Só a gravidade está atuando, puxando a bola para baixo.
Ondeé a aceleração da gravidade ( ).
Passo 4
Com as acelerações definidas, vamos escrever as equações de posição em função do tempo para cada direção usando as equações do movimento uniformemente acelerado.
-
Posição na direção leste (
): -
Posição na direção vertical (
):
Passo 5
Para descobrir quanto tempo a bola leva para voltar ao solo, precisamos encontrar o instante
em que a posição vertical
é igual a zero.
Podemos fatorar
:
Isso nos dá duas soluções:
-
(no momento do lançamento) -
Resolvendo para
:
Então, o tempo para a bola retornar ao solo é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o alcance da bola, ou seja, a distância que ela percorre na direção leste durante esse tempo.
Usando a identidade trigonométrica
, podemos simplificar:
Resposta
O tempo para a bola de golfe retornar ao solo é
e o alcance da bola é
.