Mostre que, na ausência de forças externas, o momento angular total (definido como
) de uma sistema com
partículas é conservado. [Sugestões: você necessitará replicar o argumento de (1.25) a (1.29). Nesse caso, você necessitará mais do que da terceira lei de Newton: você precisa assumir que as forças interpartículas são centrais, isto é,
age ao longo da linha que une as partículas
e
. Uma discussão completa do momento angular é dada no Capítulo 3.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o momento angular total de um sistema de
partículas é conservado quando não há forças externas agindo sobre ele. Isso está dentro do assunto de Mecânica Clássica, mais especificamente sobre o Momento Angular e sua conservação. Para resolver, vamos precisar entender como o momento angular é definido e como as forças entre as partículas influenciam essa conservação, especialmente assumindo que essas forças são centradas, ou seja, atuam ao longo da linha que une as partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como a gente define o momento angular total de um sistema. Para
partículas, o momento angular total
é dado por:
Aqui,
é o vetor posição da partícula
em relação a um ponto de referência, e
é o momento linear dessa partícula.
Passo 3
Agora, para verificar se
é conservado, a gente precisa calcular a sua taxa de variação no tempo, ou seja,
. Vamos derivar a expressão de
:
Sabemos que
, a velocidade da partícula, e que
. Portanto, o primeiro termo se simplifica:
Porque o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero.
Passo 4
Ficou então:
De acordo com a segunda lei de Newton,
, onde
é a força total atuando na partícula
.
Passo 5
Substituindo isso na equação:
Como não há forças externas, as únicas forças que atuam são as forças internas entre as part��culas do sistema. Ou seja,
, onde
é a força que a partícula
exerce sobre a partícula
.
Passo 6
Então:
Passo 7
Agora, vamos analisar os termos dessa soma dupla. Pelo fato de as forças serem centradas,
atua ao longo da linha que une as partículas
e
. Ou seja, podemos escrever
, onde
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 8
Assim, o produto vetorial
se torna:
Mas como
é na direção de
, o produto vetorial entre
e
será igual a:
Já que
.
Passo 9
Fazendo o mesmo para
:
Como
(pela terceira lei de Newton) e
, a equação fica:
E similarmente temos:
Passo 10
Agora, somando
e
:
Porque
, então os termos se cancelam.
Resposta
Como todos os termos
se cancelam mutuamente, temos que
. Portanto, o momento angular total
é conservado na ausência de forças externas.