Mostre que, na ausência de forças externas, o momento angular total (definido como ) de uma sistema com partículas é conservado. [Sugestões: você necessitará replicar o argumento de (1.25) a (1.29). Nesse caso, você necessitará mais do que da terceira lei de Newton: você precisa assumir que as forças interpartículas são centrais, isto é, age ao longo da linha que une as partículas e . Uma discussão completa do momento angular é dada no Capítulo 3.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o momento angular total de um sistema de partículas é conservado quando não há forças externas agindo sobre ele. Isso está dentro do assunto de Mecânica Clássica, mais especificamente sobre o Momento Angular e sua conservação. Para resolver, vamos precisar entender como o momento angular é definido e como as forças entre as partículas influenciam essa conservação, especialmente assumindo que essas forças são centradas, ou seja, atuam ao longo da linha que une as partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como a gente define o momento angular total de um sistema. Para partículas, o momento angular total é dado por:
Aqui, é o vetor posição da partícula em relação a um ponto de referência, e é o momento linear dessa partícula.

Passo 3

Agora, para verificar se é conservado, a gente precisa calcular a sua taxa de variação no tempo, ou seja, . Vamos derivar a expressão de :
Sabemos que , a velocidade da partícula, e que . Portanto, o primeiro termo se simplifica:
Porque o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero.

Passo 4

Ficou então:
De acordo com a segunda lei de Newton, , onde é a força total atuando na partícula .

Passo 5

Substituindo isso na equação:
Como não há forças externas, as únicas forças que atuam são as forças internas entre as part��culas do sistema. Ou seja, , onde é a força que a partícula exerce sobre a partícula .

Passo 6

Então:

Passo 7

Agora, vamos analisar os termos dessa soma dupla. Pelo fato de as forças serem centradas, atua ao longo da linha que une as partículas e . Ou seja, podemos escrever , onde é o vetor unitário na direção de .

Passo 8

Assim, o produto vetorial se torna:
Mas como é na direção de , o produto vetorial entre e será igual a:
Já que .

Passo 9

Fazendo o mesmo para :
Como (pela terceira lei de Newton) e , a equação fica:
E similarmente temos:

Passo 10

Agora, somando e :
Porque , então os termos se cancelam.

Resposta

Como todos os termos se cancelam mutuamente, temos que . Portanto, o momento angular total é conservado na ausência de forças externas.

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