Uma bomba é disparada do nível do solo de modo que ela atinja um alvo a 100 m de distância. Infelizmente, a bomba explode prematuramente e se parte em dois pedaços iguais. Os dois pedaços atingem o solo ao mesmo tempo e um deles atinge o solo a 100 m adiante do outro. A que distância o outro pedaço atingiu o solo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bomba que é lançada do nível do solo para atingir um alvo a 100 metros de distância. Antes de atingir o alvo, ela explode e se divide em dois pedaços iguais. Esses pedaços caem no chão ao mesmo tempo, mas um deles vai parar 100 metros à frente do outro. Nosso objetivo é descobrir a que distância esse outro pedaço aterrissou.
Estamos trabalhando com conceitos de movimento de projéteis e divisão de massas em movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade e o alcance de um projétil são afetados quando ele se divide.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o alcance de um projétil lançando de um nível ao solo é dado pela fórmula:
onde:
-
é o alcance, -
é a velocidade inicial, -
é o ângulo de lançamento, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
Como a bomba inicialmente deveria atingir 100 metros, podemos usar essa informação para relacionar a velocidade e o ângulo de lançamento.
Passo 3
Agora, quando a bomba explode e se divide em dois pedaços iguais, a massa total da bomba é dividida igualmente, mas a quantidade de movimento (momentum) de cada pedaço continua a mesma se não houver forças externas. Como ambos os pedaços caem ao mesmo tempo, isso significa que eles têm a mesma componente vertical da velocidade.
Porém, um pedaço ganha um impulso na direção horizontal que o faz ir 100 metros à frente do outro. Isso significa que a velocidade horizontal de um dos pedaços aumentou, enquanto a do outro permaneceu a mesma.
Passo 4
Vamos chamar a distância que o outro pedaço atingiu de
. Sabemos que a diferença entre os dois pedaços é de 100 metros:
No entanto, isso não está correto. Precisamos considerar que um pedaço vai 100 metros à frente do ponto original, e o outro vai uma distância
. Como a distância total entre os dois pedaços é de 100 metros, temos:
Passo 5
Mas lembrando que a bomba inicialmente deveria atingir 100 metros, esse é o alcance
. Então, se um pedaço vai 100 metros além disso, ele vai para:
E o outro pedaço, que vai 100 metros atrás da posição original de explodir, ficará:
No entanto, isso não faz sentido físico, já que um pedaço não pode cair no mesmo lugar.
Passo 6
Vamos corrigir nossa abordagem. Quando a bomba explode, a velocidade horizontal de um pedaço aumenta, fazendo com que ele vá 100 metros além do alcance original. O outro pedaço, por consequência, terá sua velocidade horizontal diminuída.
A distância total entre os dois pedaços ao atingirem o solo é de 100 metros. Portanto, se um pedaço vai 100 metros além do alcance original, o outro pedaço deve ter uma distância menor para que a diferença entre eles seja de 100 metros.
Passo 7
Vamos chamar a distância do primeiro pedaço de
e a do outro pedaço de
. Sabemos que:
Substituindo
:
Resposta
O outro pedaço da bomba atingiu o solo a 100 metros de distância.