Uma bomba é disparada do nível do solo de modo que ela atinja um alvo a 100 m de distância. Infelizmente, a bomba explode prematuramente e se parte em dois pedaços iguais. Os dois pedaços atingem o solo ao mesmo tempo e um deles atinge o solo a 100 m adiante do outro. A que distância o outro pedaço atingiu o solo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bomba que é lançada do nível do solo para atingir um alvo a 100 metros de distância. Antes de atingir o alvo, ela explode e se divide em dois pedaços iguais. Esses pedaços caem no chão ao mesmo tempo, mas um deles vai parar 100 metros à frente do outro. Nosso objetivo é descobrir a que distância esse outro pedaço aterrissou.
Estamos trabalhando com conceitos de movimento de projéteis e divisão de massas em movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade e o alcance de um projétil são afetados quando ele se divide.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o alcance de um projétil lançando de um nível ao solo é dado pela fórmula:
onde:
  • é o alcance,
  • é a velocidade inicial,
  • é o ângulo de lançamento,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ²).
Como a bomba inicialmente deveria atingir 100 metros, podemos usar essa informação para relacionar a velocidade e o ângulo de lançamento.

Passo 3

Agora, quando a bomba explode e se divide em dois pedaços iguais, a massa total da bomba é dividida igualmente, mas a quantidade de movimento (momentum) de cada pedaço continua a mesma se não houver forças externas. Como ambos os pedaços caem ao mesmo tempo, isso significa que eles têm a mesma componente vertical da velocidade.
Porém, um pedaço ganha um impulso na direção horizontal que o faz ir 100 metros à frente do outro. Isso significa que a velocidade horizontal de um dos pedaços aumentou, enquanto a do outro permaneceu a mesma.

Passo 4

Vamos chamar a distância que o outro pedaço atingiu de . Sabemos que a diferença entre os dois pedaços é de 100 metros:
No entanto, isso não está correto. Precisamos considerar que um pedaço vai 100 metros à frente do ponto original, e o outro vai uma distância . Como a distância total entre os dois pedaços é de 100 metros, temos:

Passo 5

Mas lembrando que a bomba inicialmente deveria atingir 100 metros, esse é o alcance . Então, se um pedaço vai 100 metros além disso, ele vai para:
E o outro pedaço, que vai 100 metros atrás da posição original de explodir, ficará:
No entanto, isso não faz sentido físico, já que um pedaço não pode cair no mesmo lugar.

Passo 6

Vamos corrigir nossa abordagem. Quando a bomba explode, a velocidade horizontal de um pedaço aumenta, fazendo com que ele vá 100 metros além do alcance original. O outro pedaço, por consequência, terá sua velocidade horizontal diminuída.
A distância total entre os dois pedaços ao atingirem o solo é de 100 metros. Portanto, se um pedaço vai 100 metros além do alcance original, o outro pedaço deve ter uma distância menor para que a diferença entre eles seja de 100 metros.

Passo 7

Vamos chamar a distância do primeiro pedaço de e a do outro pedaço de . Sabemos que:
Substituindo :

Resposta

O outro pedaço da bomba atingiu o solo a 100 metros de distância.

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