Use coordenadas polares esféricas para determinar o CM de um sólido hemisférico uniforme de raio , cuja face plana repousa sobre o plano com seu centro sobre a origem. Antes de resolver isso, você necessitará se convencer de que o elemento de volume, em coordenadas polares esféricas, é . (Coordenadas polares esféricas estão definidas na Seção 4.8. Se você não está familiarizado com essas coordenadas, possivelmente, não deve tentar resolver este problema ainda.)

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o centro de massa (CM) de um hemisfério sólido uniforme usando coordenadas polares esféricas. Aqui, a matéria envolve cálculo de centro de massa e uso de coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar do elemento de volume em coordenadas polares esféricas, que é dado por:

Passo 2

Primeiro, observamos que o hemisfério é simétrico em relação ao eixo . Isso significa que as coordenadas e do centro de massa serão zero. Portanto, só precisamos encontrar a coordenada do CM.

Passo 3

A coordenada do centro de massa é calculada pela fórmula:
Como estamos usando coordenadas esféricas, sabemos que . Substituindo isso na fórmula, temos:

Passo 4

Substituindo o elemento de volume na equação, ficamos com:
Simplificando, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Passo 6

Multiplicando os resultados das integrais:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a massa do hemisfério. Como o hemisfério é uniforme, é dado pela integral do elemento de volume:
Calculando as integrais:
  1. Integral em :
  2. Integral em :
  3. Integral em :
Assim,

Passo 8

Substituindo na expressão de :

Resposta

O centro de massa do hemisfério está localizado em .

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