Use coordenadas polares esféricas
para determinar o CM de um sólido hemisférico uniforme de raio
, cuja face plana repousa sobre o plano
com seu centro sobre a origem. Antes de resolver isso, você necessitará se convencer de que o elemento de volume, em coordenadas polares esféricas, é
. (Coordenadas polares esféricas estão definidas na Seção 4.8. Se você não está familiarizado com essas coordenadas, possivelmente, não deve tentar resolver este problema ainda.)
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o centro de massa (CM) de um hemisfério sólido uniforme usando coordenadas polares esféricas. Aqui, a matéria envolve cálculo de centro de massa e uso de coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar do elemento de volume em coordenadas polares esféricas, que é dado por:
Passo 2
Primeiro, observamos que o hemisfério é simétrico em relação ao eixo
. Isso significa que as coordenadas
e
do centro de massa serão zero. Portanto, só precisamos encontrar a coordenada
do CM.
Passo 3
A coordenada
do centro de massa é calculada pela fórmula:
Como estamos usando coordenadas esféricas, sabemos que
. Substituindo isso na fórmula, temos:
Passo 4
Substituindo o elemento de volume
na equação, ficamos com:
Simplificando, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente.
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 6
Multiplicando os resultados das integrais:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a massa
do hemisfério. Como o hemisfério é uniforme,
é dado pela integral do elemento de volume:
Calculando as integrais:
- Integral em
: - Integral em
: - Integral em
:
Assim,
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
O centro de massa do hemisfério está localizado em
.