Uma placa fina e uniforme de metal é cortada no formato de um semicírculo de raio repousa sobre o plano com seu centro na origem e com o diâmetro estendido ao longo do eixo . Determine a posição do CM usando coordenadas polares. [Neste caso, o somatório (3.9), que define a posição do CM , torna-se uma integral bidimensional da forma , onde denota a densidade de massa da superfície (massa/área) da placa de metal e é o elemento de área .]

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma placa de metal fina e uniforme, cortada no formato de um semicírculo com raio . Essa placa está posicionada no plano , com o centro na origem e o diâmetro ao longo do eixo . Precisamos determinar a posição do centro de massa (CM) dessa placa utilizando coordenadas polares.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à física, especificamente a determinação do centro de massa usando integrais duplas em coordenadas polares. Precisaremos entender como configurar e calcular essas integrais para encontrar as coordenadas e do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa ( ) de uma região bidimensional pode ser calculado usando as seguintes fórmulas:
onde:
  • é a massa total da placa,
  • é a densidade de massa superficial (massa por unidade de área),
  • é o elemento de área.
Como estamos trabalhando em coordenadas polares, sabemos que e , e o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 3

Vamos calcular a massa total da placa. A massa é dada pela integral da densidade sobre toda a área da placa:
Como a placa é um semicírculo de raio , os limites de integração para vão de 0 a e para vão de 0 a (já que é um semicírculo). Portanto:

Passo 4

Vamos resolver a integral para :
Primeiro, integramos em relação a :
Em seguida, integramos em relação a :
Portanto, a massa total é:

Passo 5

Agora, vamos determinar e .
Para :
Resolvendo a integral interna:
Então:
A integral de de 0 a é zero, pois é uma função ímpar em torno de . Portanto:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Resolvendo a integral interna novamente:
Então:
A integral de de 0 a é 2:
Portanto:
Substituindo :

Resposta

A posição do centro de massa da placa é .

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