Uma placa fina e uniforme de metal é cortada no formato de um semicírculo de raio
repousa sobre o plano
com seu centro na origem e com o diâmetro estendido ao longo do eixo
. Determine a posição do CM usando coordenadas polares. [Neste caso, o somatório (3.9), que define a posição do CM , torna-se uma integral bidimensional da forma
, onde
denota a densidade de massa da superfície (massa/área) da placa de metal e
é o elemento de área
.]
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma placa de metal fina e uniforme, cortada no formato de um semicírculo com raio
. Essa placa está posicionada no plano
, com o centro na origem e o diâmetro ao longo do eixo
. Precisamos determinar a posição do centro de massa (CM) dessa placa utilizando coordenadas polares.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à física, especificamente a determinação do centro de massa usando integrais duplas em coordenadas polares. Precisaremos entender como configurar e calcular essas integrais para encontrar as coordenadas
e
do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa (
) de uma região bidimensional pode ser calculado usando as seguintes fórmulas:
onde:
-
é a massa total da placa, -
é a densidade de massa superficial (massa por unidade de área), -
é o elemento de área.
Como estamos trabalhando em coordenadas polares, sabemos que
e
, e o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 3
Vamos calcular a massa total
da placa. A massa é dada pela integral da densidade sobre toda a área da placa:
Como a placa é um semicírculo de raio
, os limites de integração para
vão de 0 a
e para
vão de 0 a
(já que é um semicírculo). Portanto:
Passo 4
Vamos resolver a integral para
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Em seguida, integramos em relação a
:
Portanto, a massa total
é:
Passo 5
Agora, vamos determinar
e
.
Para
:
Resolvendo a integral interna:
Então:
A integral de
de 0 a
é zero, pois
é uma função ímpar em torno de
. Portanto:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Resolvendo a integral interna novamente:
Então:
A integral de
de 0 a
é 2:
Portanto:
Substituindo
:
Resposta
A posição do centro de massa da placa é
.