Uma bomba movendo-se com velocidade
explode em três pedaços de massas iguais. Logo após a explosão, um dos pedaços tem velocidade
e os outros dois têm velocidades
e
que são iguais em magnitude (
), mas são mutuamente perpendiculares. Determine
e
e esboce os gráficos das três velocidades.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! Temos uma bomba que está se movendo com uma certa velocidade,
, e ela explode, se dividindo em três pedaços de massas iguais. Depois da explosão, um dos pedaços continua com a mesma velocidade da bomba, ou seja,
. Os outros dois pedaços têm velocidades
e
, que têm a mesma magnitude (
), mas são perpendiculares entre si.
Conteúdo da matéria: Conservação da quantidade de movimento (momento linear) em colisões e explosões.
O que vamos precisar:
- Princípio da conservação do momento linear.
- Entender que o momento total antes da explosão é igual ao momento total após a explosão.
- Conhecer as propriedades de vetores perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, segundo a lei da conservação do momento linear, o momento total de um sistema isolado permanece constante, desde que não haja forças externas atuando sobre ele. Ou seja:
No nosso caso, antes da explosão, a bomba inteira tinha um momento
. Depois da explosão, temos três pedaços, cada um com massa igual, digamos
, e com velocidades
,
e
. Então, o momento total após a explosão é:
Como a massa total antes e depois da explosão é a mesma, podemos simplificar a equação da conservação do momento:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Sabemos que
. Vamos substituir isso na equação:
Agora, vamos subtrair
de ambos os lados:
Ou seja:
Isso nos diz que
é igual a
, ou seja, elas têm a mesma magnitude mas direções opostas.
Passo 4
Entretanto, o problema nos diz que
e
são perpendiculares entre si. Se
é igual a
, então elas deveriam estar na mesma linha, mas perpendicularidade indica algo diferente. Isso significa que precisamos revisar nosso raciocínio.
Vamos reconsiderar a situação: o momento total após a explosão deve ser igual ao momento antes, ou seja:
Sabemos que
. Substituindo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então,
. Mas como elas são perpendiculares, a única forma para que dois vetores tenham a mesma magnitude e sejam perpendiculares é se eles forem vetores nulos, o que não faz sentido aqui. Portanto, precisamos considerar que a massa total pode não ser 3m, mas sim que a massa antes da explosão é m e depois são três pedaços de massa iguais, ou seja, m/3 cada.
Passo 5
Vamos reconfigurar o problema considerando que a massa total antes da explosão é m, e depois se divide em três pedaços de massa igual m/3 cada. Assim, a conservação do momento fica:
Dividindo ambos os lados por m:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Sabemos que
, então substituindo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Agora, sabemos que
e
têm a mesma magnitude e são perpendiculares. Vamos chamar essa magnitude de
. Então, podemos escrever:
E como são perpendiculares:
Podemos representar essas velocidades em componentes. Vamos supor que
está ao longo do eixo x. Então:
E:
Vamos representar
e
nas direções y e z:
Passo 7
Substituindo na equação anterior:
Em componentes:
Isso implica que a componente x de
é igual a zero, já que
e
não têm componentes na direção x. Isso gera uma inconsistência, o que indica que nossa suposição inicial sobre as direções pode não ser a melhor.
Passo 8
Vamos tentar uma abordagem diferente. Já que
e
são perpendiculares e têm a mesma magnitude, podemos usar a relação vetorial para somá-las:
Sabemos que:
Então:
Portanto:
Resolvendo para
:
Passo 9
Então, as magnitudes das velocidades
e
são iguais a
. Agora, como elas são perpendiculares, podemos escolher qualquer par de direções perpendiculares para representá-las. Por simplicidade, podemos colocá-las ao longo dos eixos y e z.
Então:
Resposta
As velocidades dos pedaços
e
são iguais em magnitude e dadas por:
Esboço dos gráficos:
-
aponta na direção positiva do eixo x com magnitude . -
aponta na direção positiva do eixo y com magnitude . -
aponta na direção positiva do eixo z com magnitude .
Veja abaixo uma representação simplificada:
z
|
| v3
|
|
|
|
|
|
|
o---------- y
/
/
v2
E
estaria ao longo do eixo x.