Uma bomba movendo-se com velocidade explode em três pedaços de massas iguais. Logo após a explosão, um dos pedaços tem velocidade e os outros dois têm velocidades e que são iguais em magnitude ( ), mas são mutuamente perpendiculares. Determine e e esboce os gráficos das três velocidades.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! Temos uma bomba que está se movendo com uma certa velocidade, , e ela explode, se dividindo em três pedaços de massas iguais. Depois da explosão, um dos pedaços continua com a mesma velocidade da bomba, ou seja, . Os outros dois pedaços têm velocidades e , que têm a mesma magnitude ( ), mas são perpendiculares entre si.
Conteúdo da matéria: Conservação da quantidade de movimento (momento linear) em colisões e explosões.
O que vamos precisar:
  • Princípio da conservação do momento linear.
  • Entender que o momento total antes da explosão é igual ao momento total após a explosão.
  • Conhecer as propriedades de vetores perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, segundo a lei da conservação do momento linear, o momento total de um sistema isolado permanece constante, desde que não haja forças externas atuando sobre ele. Ou seja:
ãã
No nosso caso, antes da explosão, a bomba inteira tinha um momento . Depois da explosão, temos três pedaços, cada um com massa igual, digamos , e com velocidades , e . Então, o momento total após a explosão é:
Como a massa total antes e depois da explosão é a mesma, podemos simplificar a equação da conservação do momento:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Sabemos que . Vamos substituir isso na equação:
Agora, vamos subtrair de ambos os lados:
Ou seja:
Isso nos diz que é igual a , ou seja, elas têm a mesma magnitude mas direções opostas.

Passo 4

Entretanto, o problema nos diz que e são perpendiculares entre si. Se é igual a , então elas deveriam estar na mesma linha, mas perpendicularidade indica algo diferente. Isso significa que precisamos revisar nosso raciocínio.
Vamos reconsiderar a situação: o momento total após a explosão deve ser igual ao momento antes, ou seja:
Sabemos que . Substituindo:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, . Mas como elas são perpendiculares, a única forma para que dois vetores tenham a mesma magnitude e sejam perpendiculares é se eles forem vetores nulos, o que não faz sentido aqui. Portanto, precisamos considerar que a massa total pode não ser 3m, mas sim que a massa antes da explosão é m e depois são três pedaços de massa iguais, ou seja, m/3 cada.

Passo 5

Vamos reconfigurar o problema considerando que a massa total antes da explosão é m, e depois se divide em três pedaços de massa igual m/3 cada. Assim, a conservação do momento fica:
Dividindo ambos os lados por m:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Sabemos que , então substituindo:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Agora, sabemos que e têm a mesma magnitude e são perpendiculares. Vamos chamar essa magnitude de . Então, podemos escrever:
E como são perpendiculares:
Podemos representar essas velocidades em componentes. Vamos supor que está ao longo do eixo x. Então:
E:
Vamos representar e nas direções y e z:

Passo 7

Substituindo na equação anterior:
Em componentes:
Isso implica que a componente x de é igual a zero, já que e não têm componentes na direção x. Isso gera uma inconsistência, o que indica que nossa suposição inicial sobre as direções pode não ser a melhor.

Passo 8

Vamos tentar uma abordagem diferente. Já que e são perpendiculares e têm a mesma magnitude, podemos usar a relação vetorial para somá-las:
Sabemos que:
Então:
Portanto:
Resolvendo para :

Passo 9

Então, as magnitudes das velocidades e são iguais a . Agora, como elas são perpendiculares, podemos escolher qualquer par de direções perpendiculares para representá-las. Por simplicidade, podemos colocá-las ao longo dos eixos y e z.
Então:

Resposta

As velocidades dos pedaços e são iguais em magnitude e dadas por:
Esboço dos gráficos:
  • aponta na direção positiva do eixo x com magnitude .
  • aponta na direção positiva do eixo y com magnitude .
  • aponta na direção positiva do eixo z com magnitude .
Veja abaixo uma representação simplificada:
          z
          |
          |     v3
          |
          |     
          |          
          |          
          |          
          |          
          |
          o---------- y
         /
        /
       v2
E estaria ao longo do eixo x.

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