Determine o momento de inércia de um disco uniforme de massa e raio , girando em torno do seu eixo, pela substituição do somatório (3.31) pela integral apropriada e resolva a integral em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o momento de inércia de um disco uniforme com massa e raio , que está girando ao redor do seu próprio eixo. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente o cálculo de momentos de inércia usando integrais em coordenadas polares. Vamos precisar lembrar como transformar somatórios em integrais e como integrar em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para um disco, o momento de inércia ( ) em relação ao seu eixo de simetria pode ser calculado integrando a contribuição de cada partícula de massa no disco.

Passo 3

Como o disco é uniforme, a densidade de massa ( ) é constante e pode ser calculada pela massa total dividida pela área do disco. A área de um disco é , então:

Passo 4

Agora, vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares, um elemento de área ( ) é dado por:

Passo 5

O momento de inércia é dado pela integral da distância ao quadrado multiplicada pela densidade de massa. Assim, temos:
Substituindo por , fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em primeiro:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral externa em :

Passo 8

Substituindo os resultados das integrais, temos:

Passo 9

Lembrando que , substituímos na expressão:

Resposta

O momento de inércia do disco em relação ao seu eixo é:

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