Determine o momento de inércia de um disco uniforme de massa
e raio
, girando em torno do seu eixo, pela substituição do somatório (3.31) pela integral apropriada e resolva a integral em coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o momento de inércia de um disco uniforme com massa
e raio
, que está girando ao redor do seu próprio eixo. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente o cálculo de momentos de inércia usando integrais em coordenadas polares. Vamos precisar lembrar como transformar somatórios em integrais e como integrar em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para um disco, o momento de inércia (
) em relação ao seu eixo de simetria pode ser calculado integrando a contribuição de cada partícula de massa no disco.
Passo 3
Como o disco é uniforme, a densidade de massa (
) é constante e pode ser calculada pela massa total dividida pela área do disco. A área de um disco é
, então:
Passo 4
Agora, vamos usar coordenadas polares
para facilitar a integração. Em coordenadas polares, um elemento de área (
) é dado por:
Passo 5
O momento de inércia é dado pela integral da distância ao quadrado multiplicada pela densidade de massa. Assim, temos:
Substituindo
por
, fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
primeiro:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral externa em
:
Passo 8
Substituindo os resultados das integrais, temos:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos na expressão:
Resposta
O momento de inércia do disco em relação ao seu eixo é: