Considere um foguete movendo-se em uma linha reta sujeito a uma força externa agindo ao longo da mesma reta. Mostre que a equação do movimento é
[Revise a dedução da Equação (3.6), mas mantenha o termo da força externa.]

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um foguete que se move em linha reta sob a ação de uma força externa que também atua na mesma direção. O objetivo é mostrar que a equação do movimento desse foguete é:
Aqui, é a massa do foguete, é a aceleração (derivada da velocidade em relação ao tempo), é a taxa de variação da massa do foguete (devido, por exemplo, à queima de combustível), e é a velocidade de exaustão dos gases.
Para resolver, vamos usar os princípios da Segunda Lei de Newton e a Conservação da Quantidade de Movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que nos diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa desse objeto multiplicada pela sua aceleração:
Aqui, é a aceleração do foguete.

Passo 3

Agora, consideramos que a massa do foguete não é constante. Conforme ele queima combustível, a massa diminui ao longo do tempo. Então, precisamos levar isso em conta ao aplicar a Segunda Lei de Newton.
A quantidade de movimento do foguete é dada por:
A variação da quantidade de movimento em relação ao tempo é:
Aqui, usamos a regra do produto na derivada, onde é a taxa de variação da massa.

Passo 4

De acordo com a Conservação da Quantidade de Movimento, a variação da quantidade de movimento do foguete é igual à força resultante atuando sobre ele. Assim:
Substituindo a expressão de que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos identificar todas as forças atuando no foguete. Há a força externa e a força devido à expulsão dos gases, que é (negativa porque os gases são expulsos para trás, aplicando uma força na direção oposta ao movimento do foguete).
Então, a força resultante é:

Passo 6

Vamos substituir na equação da quantidade de movimento:
Agora, nossa meta é isolar .

Passo 7

Vamos rearranjar a equação para isolar :
Mas, normalmente, consideramos que a velocidade do foguete é muito maior que a velocidade de exaustão , ou que não contribui significativamente para a força, simplificando a equação para:

Resposta

A equação do movimento do foguete é:

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