Considere um foguete movendo-se em uma linha reta sujeito a uma força externa
agindo ao longo da mesma reta. Mostre que a equação do movimento é
[Revise a dedução da Equação (3.6), mas mantenha o termo da força externa.]
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um foguete que se move em linha reta sob a ação de uma força externa
que também atua na mesma direção. O objetivo é mostrar que a equação do movimento desse foguete é:
Aqui,
é a massa do foguete,
é a aceleração (derivada da velocidade em relação ao tempo),
é a taxa de variação da massa do foguete (devido, por exemplo, à queima de combustível), e
é a velocidade de exaustão dos gases.
Para resolver, vamos usar os princípios da Segunda Lei de Newton e a Conservação da Quantidade de Movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que nos diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa desse objeto multiplicada pela sua aceleração:
Aqui,
é a aceleração do foguete.
Passo 3
Agora, consideramos que a massa do foguete não é constante. Conforme ele queima combustível, a massa
diminui ao longo do tempo. Então, precisamos levar isso em conta ao aplicar a Segunda Lei de Newton.
A quantidade de movimento
do foguete é dada por:
A variação da quantidade de movimento em relação ao tempo é:
Aqui, usamos a regra do produto na derivada, onde
é a taxa de variação da massa.
Passo 4
De acordo com a Conservação da Quantidade de Movimento, a variação da quantidade de movimento do foguete é igual à força resultante atuando sobre ele. Assim:
Substituindo a expressão de
que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos identificar todas as forças atuando no foguete. Há a força externa
e a força devido à expulsão dos gases, que é
(negativa porque os gases são expulsos para trás, aplicando uma força na direção oposta ao movimento do foguete).
Então, a força resultante é:
Passo 6
Vamos substituir
na equação da quantidade de movimento:
Agora, nossa meta é isolar
.
Passo 7
Vamos rearranjar a equação para isolar
:
Mas, normalmente, consideramos que a velocidade do foguete
é muito maior que a velocidade de exaustão
, ou que
não contribui significativamente para a força, simplificando a equação para:
Resposta
A equação do movimento do foguete é: