Calcule os ângulos sólidos subentendidos pela Lua e pelo Sol, ambos vistos a partir da Terra. Comente suas respostas. (Os raios da Lua e do Sol são
. Suas distâncias até a Terra são
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular os ângulos sólidos que a Lua e o Sol subtendem quando vistos da Terra. Isso está relacionado a como esses corpos aparecem do nosso ponto de vista aqui. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do ângulo sólido e os dados que nos foram fornecidos: os raios da Lua e do Sol, além das distâncias deles até a Terra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ângulo sólido. É uma medida que descreve o quanto um objeto ocupa espaço em nosso campo de visão tridimensional. A fórmula para calcular o ângulo sólido
de um objeto esférico é:
onde
é o ângulo angular que o objeto subtende no ponto de observação.
No nosso caso, como a Lua e o Sol são esferas vistas de longe, podemos simplificar usando uma aproximação válida para pequenos ângulos:
onde:
-
é o raio do objeto (Lua ou Sol), -
é a distância do objeto até a Terra.
Passo 3
Vamos calcular o ângulo sólido da Lua. Temos:
- Raio da Lua
- Distância da Lua até a Terra
Aplicando a fórmula:
Calculando a fração dentro do quadrado:
Elevando ao quadrado:
Multiplicando por
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o ângulo sólido do Sol. Temos:
- Raio do Sol
- Distância do Sol até a Terra
Aplicando a fórmula:
Calculando a fração dentro do quadrado:
Elevando ao quadrado:
Multiplicando por
:
Passo 5
Vamos comparar os resultados! A Lua tem um ângulo sólido de aproximadamente
e o Sol tem cerca de
. Veja que os valores são muito próximos, o que explica porque, durante um eclipse solar total, a Lua pode cobrir perfeitamente o Sol visto da Terra.
Resposta
O ângulo sólido subtendido pela Lua é aproximadamente
e pelo Sol é cerca de
. Esses valores muito próximos explicam por que a Lua pode bloquear a imagem do Sol visto da Terra, resultando em eclipses totais.