Na teoria de espalhamento quântico, a seção de choque diferencial é igual ao quadrado do valor absoluto de um número complexo
, chamado de amplitude do espalhamento:
A amplitude do espalhamento pode, por sua vez, ser escrita como uma série infinita
Aqui,
é chamado de “h cortado” e é a constante de Planck dividida por
, e
é o momento do projétil incidente. Os números reais
são chamados de deslocamentos de fase e dependem da natureza do projétil e do alvo e da energia incidente.
é o chamado polinômio de Legendre.
, etc.)
A série de ondas parciais (14.58) é especialmente útil para baixas energias, onde apenas alguns dos deslocamentos de fase são diferentes de zero. © Determine a seção de choque total de espalhamento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de espalhamento quântico juntos! O enunciado nos dá a expressão para a seção de choque diferencial e a amplitude de espalhamento
escrita como uma série de ondas parciais. Nosso objetivo aqui é determinar a seção de choque total de espalhamento. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre seções de choque, amplitudes de espalhamento e como integrar a seção diferencial para obter a seção total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a seção de choque total
é obtida integrando a seção de choque diferencial
sobre todos os ângulos sólidos possíveis. Isso significa que temos que somar todas as contribuições de espalhamento em todas as direções.
Matematicamente, isso fica assim:
Passo 3
Agora, substituímos a expressão da seção de choque diferencial que nos foi dada:
Então, a seção de choque total fica:
Passo 4
Vamos usar a expressão da amplitude de espalhamento
fornecida:
Para calcular
, multiplicamos
pelo seu conjugado:
Passo 5
Quando integramos sobre todos os ângulos sólidos, usamos a ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
Isso simplifica a expressão, já que apenas os termos onde
contribuem:
Passo 6
Simplificando a expressão acima, os
se cancelam:
Considerando que
e
são constantes, podemos escrever a seção de choque total como:
Resposta
A seção de choque total de espalhamento é dada por