Na teoria de espalhamento quântico, a seção de choque diferencial é igual ao quadrado do valor absoluto de um número complexo , chamado de amplitude do espalhamento:
A amplitude do espalhamento pode, por sua vez, ser escrita como uma série infinita
Aqui, é chamado de “h cortado” e é a constante de Planck dividida por , e é o momento do projétil incidente. Os números reais são chamados de deslocamentos de fase e dependem da natureza do projétil e do alvo e da energia incidente. é o chamado polinômio de Legendre. , etc.)
A série de ondas parciais (14.58) é especialmente útil para baixas energias, onde apenas alguns dos deslocamentos de fase são diferentes de zero. © Determine a seção de choque total de espalhamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de espalhamento quântico juntos! O enunciado nos dá a expressão para a seção de choque diferencial e a amplitude de espalhamento escrita como uma série de ondas parciais. Nosso objetivo aqui é determinar a seção de choque total de espalhamento. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre seções de choque, amplitudes de espalhamento e como integrar a seção diferencial para obter a seção total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a seção de choque total é obtida integrando a seção de choque diferencial sobre todos os ângulos sólidos possíveis. Isso significa que temos que somar todas as contribuições de espalhamento em todas as direções.
Matematicamente, isso fica assim:

Passo 3

Agora, substituímos a expressão da seção de choque diferencial que nos foi dada:
Então, a seção de choque total fica:

Passo 4

Vamos usar a expressão da amplitude de espalhamento fornecida:
Para calcular , multiplicamos pelo seu conjugado:

Passo 5

Quando integramos sobre todos os ângulos sólidos, usamos a ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
Isso simplifica a expressão, já que apenas os termos onde contribuem:

Passo 6

Simplificando a expressão acima, os se cancelam:
Considerando que e são constantes, podemos escrever a seção de choque total como:

Resposta

A seção de choque total de espalhamento é dada por

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