Imagine duas partículas não interagentes, cada uma de massa
, no potencial do oscilador harmônico unidimensional (Equação 2.43). Se uma estiver no estado fundamental e a outra estiver no primeiro estado excitado, calcule
, supondo (a) que elas sejam partículas distinguíveis
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema. Temos duas partículas que não interagem entre si, cada uma com massa
, e estão sujeitas a um potencial de oscilador harmônico unidimensional. Uma das partículas está no estado fundamental (mais baixo de energia) e a outra no primeiro estado excitado (um nível acima). A gente precisa calcular
, assumindo que as partículas são distinguíveis. Para isso, vamos precisar das funções de onda dos estados envolvidos e saber como calcular valores esperados em mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no potencial do oscilador harmônico unidimensional, as funções de onda para os estados fundamentas e excitados são dadas por:
Aqui,
é a frequência do oscilador e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Como as partículas são distinguíveis e não interagem, a função de onda total do sistema é o produto das funções de onda individuais. Então, temos:
Passo 4
Queremos calcular
. Vamos expandir esse termo:
Passo 5
Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro,
está no estado fundamental. Sabemos que para o estado fundamental do oscilador harmônico:
Passo 6
Segundo,
está no primeiro estado excitado. Para esse estado, o valor esperado é:
Passo 7
Agora, precisamos calcular
. Como as partículas são independentes e não interagem, os operadores
e
agem em funções de onda diferentes, portanto:
E como ambos os estados têm valor esperado de
igual a zero (são simétricos em torno de zero):
Passo 8
Agora, substituindo todos os valores na expressão expandida: