Imagine duas partículas não interagentes, cada uma de massa , no potencial do oscilador harmônico unidimensional (Equação 2.43). Se uma estiver no estado fundamental e a outra estiver no primeiro estado excitado, calcule , supondo (a) que elas sejam partículas distinguíveis

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema. Temos duas partículas que não interagem entre si, cada uma com massa , e estão sujeitas a um potencial de oscilador harmônico unidimensional. Uma das partículas está no estado fundamental (mais baixo de energia) e a outra no primeiro estado excitado (um nível acima). A gente precisa calcular , assumindo que as partículas são distinguíveis. Para isso, vamos precisar das funções de onda dos estados envolvidos e saber como calcular valores esperados em mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no potencial do oscilador harmônico unidimensional, as funções de onda para os estados fundamentas e excitados são dadas por:
Aqui, é a frequência do oscilador e é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Como as partículas são distinguíveis e não interagem, a função de onda total do sistema é o produto das funções de onda individuais. Então, temos:

Passo 4

Queremos calcular . Vamos expandir esse termo:

Passo 5

Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, está no estado fundamental. Sabemos que para o estado fundamental do oscilador harmônico:

Passo 6

Segundo, está no primeiro estado excitado. Para esse estado, o valor esperado é:

Passo 7

Agora, precisamos calcular . Como as partículas são independentes e não interagem, os operadores e agem em funções de onda diferentes, portanto:
E como ambos os estados têm valor esperado de igual a zero (são simétricos em torno de zero):

Passo 8

Agora, substituindo todos os valores na expressão expandida:

Resposta

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