Calcule o gradiente
das seguintes funções,
): (a)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função
, onde
é a distância do ponto
até a origem. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, que nos dá a direção de maior crescimento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e é dado por:
Então, nosso objetivo é encontrar essas derivadas parciais.
Passo 3
Agora, vamos expressar
em termos de
,
e
. Sabemos que:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia aqui. Se
, então:
Agora, calculamos
:
Substituindo de volta:
Passo 5
De forma semelhante, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente completo:
Resposta
O gradiente da função
é: