Calcule o gradiente das seguintes funções, ): (a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função , onde é a distância do ponto até a origem. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, que nos dá a direção de maior crescimento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior aumento de e é dado por:
Então, nosso objetivo é encontrar essas derivadas parciais.

Passo 3

Agora, vamos expressar em termos de , e . Sabemos que:
Então, podemos reescrever como:

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usamos a regra da cadeia aqui. Se , então:
Agora, calculamos :
Substituindo de volta:

Passo 5

De forma semelhante, calculamos as derivadas parciais em relação a e :

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente completo:

Resposta

O gradiente da função é:

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