Quais das seguintes forças são conservativas? © . Para aquelas que são conservativas, determine a energia potencial correspondente e verifique por derivação direta que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se a força é conservativa. Se for, também precisamos encontrar a energia potencial correspondente e confirmar que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotor (ou o “curl”) e o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma força conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final. Matemáticamente, uma força é conservativa se existe uma função escalar tal que , onde é o gradiente de .

Passo 3

Uma forma prática de verificar se uma força é conservativa é calcular o rotor (ou “curl”) dessa força. Se o rotor for zero em todos os pontos, a força é conservativa. O rotor em coordenadas cartesianas é dado por:

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotor para a força :
Agora, calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do rotor:

Passo 5

O rotor de é , que não é o vetor nulo. Isso significa que .

Resposta

Como o rotor de não é zero, essa força não é conservativa. Portanto, não existe uma energia potencial associada a ela.

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