Quais das seguintes forças são conservativas? ©
. Para aquelas que são conservativas, determine a energia potencial
correspondente e verifique por derivação direta que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se a força
é conservativa. Se for, também precisamos encontrar a energia potencial
correspondente e confirmar que
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o rotor (ou o “curl”) e o gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma força conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final. Matemáticamente, uma força
é conservativa se existe uma função escalar
tal que
, onde
é o gradiente de
.
Passo 3
Uma forma prática de verificar se uma força é conservativa é calcular o rotor (ou “curl”) dessa força. Se o rotor for zero em todos os pontos, a força é conservativa. O rotor
em coordenadas cartesianas é dado por:
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotor para a força
:
Agora, calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do rotor:
Passo 5
O rotor de
é
, que não é o vetor nulo. Isso significa que
.
Resposta
Como o rotor de
não é zero, essa força não é conservativa. Portanto, não existe uma energia potencial
associada a ela.