Calcule o gradiente
das seguintes funções,
): (b)
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o gradiente da função
, onde
. Esse problema faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre gradientes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a definição do gradiente em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado por:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Sabemos que
. Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, vamos encontrar
:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 4
Fazemos o mesmo processo para as derivadas parciais em relação a
e
:
Passo 5
Agora, juntando todas as derivadas parciais, o gradiente
fica:
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
O gradiente da função
é:
onde
.