Calcule o gradiente das seguintes funções, ): (b) ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o gradiente da função , onde . Esse problema faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre gradientes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a definição do gradiente em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado por:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Sabemos que . Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, vamos encontrar :
Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 4

Fazemos o mesmo processo para as derivadas parciais em relação a e :

Passo 5

Agora, juntando todas as derivadas parciais, o gradiente fica:
Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

O gradiente da função é:
onde .

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