Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial
(d) Descubra o valor esperado da energia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre uma partícula confinada num poço quadrado infinito, e a gente tem uma função de onda inicial definida de forma diferente em duas regiões do poço. O que precisamos encontrar é o valor esperado da energia dessa partícula. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como funções de onda normalizadas e os autovalores de energia do poço infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda . Isso significa que a integral do quadrado do módulo da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. No nosso caso, o poço vai de a , então calculamos:
Como a função é definida de duas partes, dividimos a integral:

Passo 3

Vamos resolver essas integrais uma a uma. Primeiro:
E depois:

Passo 4

Somando as duas partes da integral:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos , vamos expandir a função de onda inicial nos autostados do poço infinito. Os autostados são funções senoidais:
Cada coeficiente é dado por:

Passo 6

Calculamos substituindo e :
Essas integrais podem ser resolvidas usando integração por partes.

Passo 7

Após encontrar os coeficientes , o valor esperado da energia é a soma dos produtos pelos autovalores de energia :
Onde os autovalores de energia são:

Passo 8

Fazendo essa soma, obtemos o valor esperado da energia para a partícula no estado inicial dado.

Resposta

O valor esperado da energia é:

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