Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial
(d) Descubra o valor esperado da energia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre uma partícula confinada num poço quadrado infinito, e a gente tem uma função de onda inicial
definida de forma diferente em duas regiões do poço. O que precisamos encontrar é o valor esperado da energia dessa partícula. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como funções de onda normalizadas e os autovalores de energia do poço infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda
. Isso significa que a integral do quadrado do módulo da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. No nosso caso, o poço vai de
a
, então calculamos:
Como a função é definida de duas partes, dividimos a integral:
Passo 3
Vamos resolver essas integrais uma a uma. Primeiro:
E depois:
Passo 4
Somando as duas partes da integral:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos
, vamos expandir a função de onda inicial nos autostados do poço infinito. Os autostados são funções senoidais:
Cada coeficiente
é dado por:
Passo 6
Calculamos
substituindo
e
:
Essas integrais podem ser resolvidas usando integração por partes.
Passo 7
Após encontrar os coeficientes
, o valor esperado da energia é a soma dos produtos
pelos autovalores de energia
:
Onde os autovalores de energia são:
Passo 8
Fazendo essa soma, obtemos o valor esperado da energia para a partícula no estado inicial dado.
Resposta
O valor esperado da energia é: