Demonstre que deve exceder o valor mínimo de para cada solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo. Qual é o equivalente clássico para essa afirmação? Dica: reescreva a Equação 2.5 na forma de
se , então e sua segunda derivada sempre têm o mesmo sinal; demonstre que tal função não pode ser normalizada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar que a energia deve ser maior que o valor mínimo de para qualquer solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo. Isso está ligado à mecânica quântica, especialmente ao estudo das funções de onda e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação de Schrödinger e entender o que significa uma função ser normalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de Schrödinger na forma dada:
Aqui, é a função de onda, é o potencial, é a energia, é a massa da partícula, e é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Agora, vamos considerar a situação onde , ou seja, a energia é menor que o menor valor que o potencial pode assumir. Nesse caso, a expressão sempre será positiva, já que nunca é menor que e é menor que esse mínimo.

Passo 4

Se é sempre positivo, então o lado direito da equação:
também será positivo se for positivo, e negativo se for negativo. Isso significa que a segunda derivada de , ou seja, , terá o mesmo sinal que .

Passo 5

Se e têm o mesmo sinal, isso implica que é uma função convexa se for positiva ou côncava se for negativa. Basicamente, a forma da função seria sempre “abrindo para cima” ou “abrindo para baixo”, sem possibilidade de ter pontos de inflexão onde a função mudaria de concavidade.

Passo 6

Para uma função ser normalizável, ela precisa se comportar de tal forma que sua integral absoluta seja finita, ou seja:
Se sempre tiver a mesma concavidade, ela tende a crescer ou decrescer exponencialmente para indo para , o que faz com que a integral acima seja infinita. Portanto, uma função que sempre tem a mesma concavidade não pode ser normalizada.

Passo 7

Isso significa que, se , não existe uma solução normalizável para a equação de Schrödinger. Portanto, a energia deve ser sempre maior ou igual ao valor mínimo de para que uma solução normalizável exista.

Resposta

Concluímos que a energia deve exceder o valor mínimo de para que existam soluções normalizáveis da equação de Schrödinger independente do tempo. O equivalente clássico dessa afirmação é que, para uma partícula clássica, a energia total deve ser suficiente para superar o potencial mínimo, permitindo movimento limitado ou livre.

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