Demonstre que
deve exceder o valor mínimo de
para cada solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo. Qual é o equivalente clássico para essa afirmação? Dica: reescreva a Equação 2.5 na forma de
se
, então
e sua segunda derivada sempre têm o mesmo sinal; demonstre que tal função não pode ser normalizada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar que a energia
deve ser maior que o valor mínimo de
para qualquer solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo. Isso está ligado à mecânica quântica, especialmente ao estudo das funções de onda e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação de Schrödinger e entender o que significa uma função ser normalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de Schrödinger na forma dada:
Aqui,
é a função de onda,
é o potencial,
é a energia,
é a massa da partícula, e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Agora, vamos considerar a situação onde
, ou seja, a energia é menor que o menor valor que o potencial
pode assumir. Nesse caso, a expressão
sempre será positiva, já que
nunca é menor que
e
é menor que esse mínimo.
Passo 4
Se
é sempre positivo, então o lado direito da equação:
também será positivo se
for positivo, e negativo se
for negativo. Isso significa que a segunda derivada de
, ou seja,
, terá o mesmo sinal que
.
Passo 5
Se
e
têm o mesmo sinal, isso implica que
é uma função convexa se for positiva ou côncava se for negativa. Basicamente, a forma da função seria sempre “abrindo para cima” ou “abrindo para baixo”, sem possibilidade de ter pontos de inflexão onde a função mudaria de concavidade.
Passo 6
Para uma função ser normalizável, ela precisa se comportar de tal forma que sua integral absoluta seja finita, ou seja:
Se
sempre tiver a mesma concavidade, ela tende a crescer ou decrescer exponencialmente para
indo para
, o que faz com que a integral acima seja infinita. Portanto, uma função que sempre tem a mesma concavidade não pode ser normalizada.
Passo 7
Isso significa que, se
, não existe uma solução normalizável para a equação de Schrödinger. Portanto, a energia
deve ser sempre maior ou igual ao valor mínimo de
para que uma solução normalizável exista.
Resposta
Concluímos que a energia
deve exceder o valor mínimo de
para que existam soluções normalizáveis da equação de Schrödinger independente do tempo. O equivalente clássico dessa afirmação é que, para uma partícula clássica, a energia total deve ser suficiente para superar o potencial mínimo, permitindo movimento limitado ou livre.