(a) Calcule para o estado (Equação 5.30). Dica: resolva primeiro a integral , usando coordenadas esféricas e estabelecendo o eixo polar junto a , assim
A integral em é fácil, mas seja cuidadoso ao extrair sua raiz positiva. Você terá de quebrar a integral em em duas partes, uma que vá de 0 a , e outra que vá de ao . Resposta: 5/4a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a média de no estado . Isso está relacionado ao cálculo de valores esperados na mecânica quântica, especificamente envolvendo integrais tridimensionais. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas e entender como manipular integrais nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é a distância entre os pontos e no espaço. Usando coordenadas esféricas e alinhando o eixo polar com , podemos expressar essa distância como:

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral para calcular a média . Isso envolve integrar sobre todas as posições possíveis de com a função de onda . A dica sugere resolver primeiro a integral em , que é a coordenada angular.

Passo 4

A integral em fica mais simples porque, ao integrar de 0 a , podemos usar a simetria do problema. Ao fazer isso, garantimos que a expressão dentro da raiz quadrada permaneça positiva, ou seja, extraímos a raiz positiva cuidadosamente.

Passo 5

Agora, precisamos lidar com a integral em relação a . A dica nos orienta a dividir essa integral em duas partes: de 0 a e de ao infinito. Isso é importante porque a expressão dentro da raiz muda de comportamento nessas duas faixas, e dividir a integral facilita o cálculo.

Passo 6

Depois de resolver as integrais separadamente nessas duas regiões, somamos os resultados para obter a média total . Com os cálculos adequados, chegamos ao valor final.

Resposta

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