(a) Calcule
para o estado
(Equação 5.30). Dica: resolva primeiro a integral
, usando coordenadas esféricas e estabelecendo o eixo polar junto a
, assim
A integral em
é fácil, mas seja cuidadoso ao extrair sua raiz positiva. Você terá de quebrar a integral em
em duas partes, uma que vá de 0 a
, e outra que vá de
ao
. Resposta: 5/4a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a média de
no estado
. Isso está relacionado ao cálculo de valores esperados na mecânica quântica, especificamente envolvendo integrais tridimensionais. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas e entender como manipular integrais nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa é a distância entre os pontos
e
no espaço. Usando coordenadas esféricas e alinhando o eixo polar com
, podemos expressar essa distância como:
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral para calcular a média
. Isso envolve integrar sobre todas as posições possíveis de
com a função de onda
. A dica sugere resolver primeiro a integral em
, que é a coordenada angular.
Passo 4
A integral em
fica mais simples porque, ao integrar de 0 a
, podemos usar a simetria do problema. Ao fazer isso, garantimos que a expressão dentro da raiz quadrada permaneça positiva, ou seja, extraímos a raiz positiva cuidadosamente.
Passo 5
Agora, precisamos lidar com a integral em relação a
. A dica nos orienta a dividir essa integral em duas partes: de 0 a
e de
ao infinito. Isso é importante porque a expressão dentro da raiz muda de comportamento nessas duas faixas, e dividir a integral facilita o cálculo.
Passo 6
Depois de resolver as integrais separadamente nessas duas regiões, somamos os resultados para obter a média total
. Com os cálculos adequados, chegamos ao valor final.