Discuta (qualitativamente) o quadro de níveis de energia para o hélio (a) se elétrons fossem bósons idênticos e (b) se elétrons fossem partículas distinguíveis (porém, com mesma massa e carga). Finja que esses ‘elétrons’ ainda têm spin
, para que, então, as configurações de spin sejam o singleto e o tripleto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo pra gente discutir qualitativamente como seriam os níveis de energia do hélio em duas situações diferentes: (a) quando os elétrons fossem bósons idênticos, e (b) quando fossem partículas distinguíveis, mas com a mesma massa e carga. Além disso, os elétrons ainda têm spin
, o que nos dá duas configurações de spin: o singleto e o triplete. Vamos precisar entender um pouco sobre estatísticas de partículas (bósons vs férmions) e como o spin afeta as configurações de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que elétrons na realidade são férmions, ou seja, partículas que obedecem à estatística de Fermi-Dirac e ao princípio de exclusão de Pauli. Mas aqui, nas duas situações do exercício, temos que considerar os elétrons como bósons idênticos ou como partículas distinguíveis, então precisamos ver como isso muda as coisas.
Passo 3
No caso (a), onde os elétrons são bósons idênticos, eles obedecem à estatística de Bose-Einstein. Isso significa que múltiplos bósons podem ocupar o mesmo estado quântico sem restrições. Então, para o hélio, os dois elétrons poderiam estar no mesmo nível de energia, o que não acontece com férmions devido ao princípio de exclusão.
Passo 4
Já no caso (b), com elétrons sendo partículas distinguíveis, elas não estão sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli. Ou seja, cada elétron pode ocupar qualquer estado de energia independentemente do outro. Isso nos dá mais flexibilidade na configuração dos níveis de energia.
Passo 5
Agora, considerando o spin
, temos duas configurações de spin: o singleto (spin anti-paralelo) e o triplete (spin paralelo). Para bósons, que têm spin inteiro, estados com spin simétrico (triplete) e anti-simétrico (singlete) são permitidos de maneiras diferentes comparado aos férmions.
Passo 6
No cenário dos elétrons como bósons idênticos, a simetria dos estados de spin e espaço precisa respeitar as regras para bósons. Isso implica que certas configurações de energia serão mais favorecidas ou menos favorecidas dependendo da simetria dos estados de spin.
Passo 7
No caso dos elétrons distinguíveis, não temos essa restrição de simetria, então as configurações de spin (singlete e triplete) podem coexistir sem afetar diretamente a ocupação dos níveis de energia. Isso resulta em uma estrutura de níveis de energia que pode ser mais complexa, já que cada configuração de spin pode ter suas próprias energias associadas.
Resposta
Em resumo, para o hélio:
(a) Se os elétrons fossem bósons idênticos, eles poderiam ocupar o mesmo nível de energia devido à estatística de Bose-Einstein, resultando em uma configuração de energia mais simples onde ambos os elétrons estão no mesmo estado quântico, com as configurações de spin (singlete e triplete) influenciando a simetria do estado total.
(b) Se os elétrons fossem partículas distinguíveis, cada elétron poderia ocupar independentemente quaisquer níveis de energia disponíveis, levando a uma estrutura de níveis de energia mais rica, onde as configurações de spin (singlete e triplete) poderiam coexistir sem restrições de simetria, permitindo múltiplas combinações de estados de energia.