Calcule o menor limite para o estado fundamental de hidrogênio que você puder obter utilizando uma gaussiana como função de onda teste
em que é determinado pela normalização e é um parâmetro ajustável. Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o menor limite de energia para o estado fundamental do hidrogênio, usando uma função de onda gaussiana. A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, especificamente o método de variação para encontrar energias mínimas. Vamos precisar ajustar o parâmetro na função de onda e garantir que a função esteja normalizada.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda . Normalizar significa que a integral do sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Então, temos:
Substituindo :
Sabemos que:
Então:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o princípio variacional, que nos diz que a energia esperada com essa função de onda de teste será sempre maior ou igual à energia verdadeira do estado fundamental.
A energia esperada �� dada por:
Onde é o operador cinético e é o operador potencial.

Passo 4

Vamos calcular a parte cinética :
Após os cálculos, obtemos:

Passo 5

Agora, a parte potencial :
Para o hidrogênio, o potencial é . Calculando a integral:

Passo 6

Somando as duas partes, a energia esperada fica:

Passo 7

Para encontrar o mínimo de , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo para :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão para , obtemos o valor mínimo da energia:
í

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados