Calcule o menor limite para o estado fundamental de hidrogênio que você puder obter utilizando uma gaussiana como função de onda teste
em que
é determinado pela normalização e
é um parâmetro ajustável. Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o menor limite de energia para o estado fundamental do hidrogênio, usando uma função de onda gaussiana. A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, especificamente o método de variação para encontrar energias mínimas. Vamos precisar ajustar o parâmetro
na função de onda e garantir que a função esteja normalizada.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda
. Normalizar significa que a integral do
sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Então, temos:
Substituindo
:
Sabemos que:
Então:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o princípio variacional, que nos diz que a energia esperada
com essa função de onda de teste será sempre maior ou igual à energia verdadeira do estado fundamental.
A energia esperada �� dada por:
Onde
é o operador cinético e
é o operador potencial.
Passo 4
Vamos calcular a parte cinética
:
Após os cálculos, obtemos:
Passo 5
Agora, a parte potencial
:
Para o hidrogênio, o potencial é
. Calculando a integral:
Passo 6
Somando as duas partes, a energia esperada fica:
Passo 7
Para encontrar o mínimo de
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão para
, obtemos o valor mínimo da energia: