Embora a equação de Schrödinger para o hélio não possa ser resolvida com precisão, há sistemas ‘parecidos com o hélio’ que admitem soluções exatas. Um exemplo simples
disso é o ‘hélio elástico’, no qual as forças de Coulomb são substituídas pelas forças da lei de Hooke:
(a) Demonstre que a mudança das variáveis de
para
transforma o Hamiltoniano em dois osciladores harmônicos tridimensionais independentes:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um Hamiltoniano para um sistema chamado “hélio elástico”, que é uma versão simplificada do átomo de hélio onde, em vez das forças de Coulomb, usamos as forças da lei de Hooke. O objetivo aqui é mudar as variáveis de posição
e
para novas variáveis
e
, e mostrar que, com essa mudança, o Hamiltoniano se divide em dois osciladores harmônicos tridimensionais independentes. Para isso, vamos precisar entender como fazer a mudança de coordenadas e como isso afeta cada termo do Hamiltoniano.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as novas variáveis de posição dadas na questão:
Essa mudança de coordenadas é útil porque combina as posições das partículas de uma maneira que simplifica o Hamiltoniano, permitindo separar os movimentos das partículas em duas partes distintas.
Passo 3
Agora, precisamos expressar as posições originais
e
em termos das novas variáveis
e
. Resolvendo o sistema de equações acima para
e
:
Passo 4
O próximo passo é determinar como as derivadas em relação a
e
se transformam nas novas coordenadas
e
. Utilizando o conceito de derivadas parciais em mudanças de coordenadas, temos:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas expressões de
e
no Hamiltoniano original:
Substituindo
e
:
E substituindo
e
:
Além disso:
Passo 6
Substituindo todas essas expressões no Hamiltoniano, temos:
Simplificando os termos:
Fatorando o termo de
:
Resposta
Assim, após a mudança de variáveis, o Hamiltoniano se transforma em dois osciladores harmônicos tridimensionais independentes: