Embora a equação de Schrödinger para o hélio não possa ser resolvida com precisão, há sistemas ‘parecidos com o hélio’ que admitem soluções exatas. Um exemplo simples disso é o ‘hélio elástico’, no qual as forças de Coulomb são substituídas pelas forças da lei de Hooke:
(a) Demonstre que a mudança das variáveis de para
transforma o Hamiltoniano em dois osciladores harmônicos tridimensionais independentes:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um Hamiltoniano para um sistema chamado “hélio elástico”, que é uma versão simplificada do átomo de hélio onde, em vez das forças de Coulomb, usamos as forças da lei de Hooke. O objetivo aqui é mudar as variáveis de posição e para novas variáveis e , e mostrar que, com essa mudança, o Hamiltoniano se divide em dois osciladores harmônicos tridimensionais independentes. Para isso, vamos precisar entender como fazer a mudança de coordenadas e como isso afeta cada termo do Hamiltoniano.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as novas variáveis de posição dadas na questão:
Essa mudança de coordenadas é útil porque combina as posições das partículas de uma maneira que simplifica o Hamiltoniano, permitindo separar os movimentos das partículas em duas partes distintas.

Passo 3

Agora, precisamos expressar as posições originais e em termos das novas variáveis e . Resolvendo o sistema de equações acima para e :

Passo 4

O próximo passo é determinar como as derivadas em relação a e se transformam nas novas coordenadas e . Utilizando o conceito de derivadas parciais em mudanças de coordenadas, temos:

Passo 5

Agora, vamos substituir essas expressões de e no Hamiltoniano original:
Substituindo e :
E substituindo e :
Além disso:

Passo 6

Substituindo todas essas expressões no Hamiltoniano, temos:
Simplificando os termos:
Fatorando o termo de :

Resposta

Assim, após a mudança de variáveis, o Hamiltoniano se transforma em dois osciladores harmônicos tridimensionais independentes:

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