Embora a equação de Schrödinger para o hélio não possa ser resolvida com precisão, há sistemas ‘parecidos com o hélio’ que admitem soluções exatas. Um exemplo simples
disso é o ‘hélio elástico’, no qual as forças de Coulomb são substituídas pelas forças da lei de Hooke:
(b) Qual é a energia exata do estado fundamental para esse sistema?
Passo 1
Então, temos um sistema chamado “hélio elástico”, que é uma versão simplificada do átomo de hélio. Aqui, em vez das forças de Coulomb entre os elétrons e o núcleo, usamos forças da lei de Hooke, que são forças elásticas. Vamos usar a equação de Schrödinger para resolver esse sistema e encontrar a energia do estado fundamental. Para isso, precisamos entender os operadores de energia cinética e potencial na Hamiltoniana fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a Hamiltoniana dada:
Aqui, temos três termos:
- O primeiro termo representa a energia cinética dos dois elétrons.
- O segundo termo é a energia potencial harmônica de cada elétron em relação ao núcleo.
- O terceiro termo representa a interação elástica entre os dois elétrons, com
sendo a constante que ajusta a força dessa interação.
Passo 3
Para simplificar, vamos mudar de coordenadas para coordenadas de centro de massa e coordenadas relativas. Definimos:
Essa mudança facilita a separação do problema em duas partes independentes: uma para o movimento do centro de massa e outra para o movimento relativo entre os elétrons.
Passo 4
Reescrevendo a Hamiltoniana em termos das novas coordenadas, obtemos:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Agora, vemos que a Hamiltoniana se separa em duas partes:
- Uma dependente de
, que descreve um oscilador harmônico com frequência . - Outra dependente de
, que também é um oscilador harmônico, mas com frequência modificada devido à interação .
A energia total será a soma das energias desses dois osciladores.
Passo 6
A energia do estado fundamental de um oscilador harmônico é dada por:
onde
é a frequência do oscilador.
Para o oscilador do centro de massa:
Então, a energia do estado fundamental para o centro de massa é:
Passo 7
Para o oscilador relativo, a frequência efetiva é:
Portanto, a energia do estado fundamental para o movimento relativo é:
Passo 8
A energia total do estado fundamental do sistema é a soma das energias dos dois osciladores:
Resposta
A energia exata do estado fundamental para o sistema de hélio elástico é: