(a) Utilize a função de onda teste na forma
á
para obter um limite para a energia do estado fundamental do oscilador harmônico unidimensional. Qual é o ‘melhor’ valor de ? Compare com a energia exata. Nota: essa função teste tem uma ‘dobra’ (uma derivada descontínua) em ; você precisa levar isso em conta, como fiz no Exemplo 7.3?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar a função de onda teste dada para estimar a energia do estado fundamental do oscilador harmônico unidimensional. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especialmente o princípio variacional, que nos ajuda a encontrar um limite superior para a energia. Vamos precisar calcular a energia esperada usando a função de onda proposta e depois otimizar o parâmetro para encontrar o melhor valor possível. Além disso, como a função tem uma ‘dobra’ nas extremidades, precisamos considerar isso no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a energia esperada para um estado quântico. A energia total é dada pela soma da energia cinética e da energia potencial:
Onde:
  • é a energia cinética.
  • é a energia potencial.
No caso do oscilador harmônico, a energia potencial é:
E a energia cinética é:

Passo 3

Vamos normalizar a função de onda . A condição de normalização é:
Para a nossa função de onda, que é não nula apenas para , a integral fica:
Resolvendo essa integral:

Passo 4

Agora vamos calcular a energia esperada . Primeiro, a energia cinética:
A derivada da função de onda é:
á
E a segunda derivada:
á
A energia cinética é então:
á

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia potencial :
Resolvendo a integral:
Utilizando a identidade :
A segunda integral será zero devido à simetria, então:
Portanto:

Passo 6

Agora, somamos e para obter a energia esperada total:

Passo 7

Para encontrar o melhor valor de , precisamos minimizar em relação a . Derivando em relação a e igualando a zero:
Resolvendo para :
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos o valor de de volta na expressão para para encontrar :
Substituindo :
Então:

Passo 9

A energia exata do estado fundamental do oscilador harmônico é:
Comparando com :
Podemos ver que a energia esperada com a função de onda teste é maior que a energia exata, como esperado pelo princípio variacional.

Resposta

O melhor valor para é e o limite superior para a energia do estado fundamental obtido usando a função de onda teste é aproximadamente . Esse valor é maior que a energia exata , confirmando o princípio variacional.

Exercícios de Livros Relacionados