(a) Utilize a função de onda teste na forma
para obter um limite para a energia do estado fundamental do oscilador harmônico unidimensional. Qual é o ‘melhor’ valor de
? Compare
com a energia exata. Nota: essa função teste tem uma ‘dobra’ (uma derivada descontínua) em
; você precisa levar isso em conta, como fiz no Exemplo 7.3?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar a função de onda teste dada para estimar a energia do estado fundamental do oscilador harmônico unidimensional. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especialmente o princípio variacional, que nos ajuda a encontrar um limite superior para a energia. Vamos precisar calcular a energia esperada usando a função de onda proposta e depois otimizar o parâmetro
para encontrar o melhor valor possível. Além disso, como a função tem uma ‘dobra’ nas extremidades, precisamos considerar isso no cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a energia esperada
para um estado quântico. A energia total é dada pela soma da energia cinética e da energia potencial:
Onde:
-
é a energia cinética. -
é a energia potencial.
No caso do oscilador harmônico, a energia potencial é:
E a energia cinética é:
Passo 3
Vamos normalizar a função de onda
. A condição de normalização é:
Para a nossa função de onda, que é não nula apenas para
, a integral fica:
Resolvendo essa integral:
Passo 4
Agora vamos calcular a energia esperada
. Primeiro, a energia cinética:
A derivada da função de onda é:
E a segunda derivada:
A energia cinética é então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia potencial
:
Resolvendo a integral:
Utilizando a identidade
:
A segunda integral será zero devido à simetria, então:
Portanto:
Passo 6
Agora, somamos
e
para obter a energia esperada total:
Passo 7
Para encontrar o melhor valor de
, precisamos minimizar
em relação a
. Derivando
em relação a
e igualando a zero:
Resolvendo para
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos o valor de
de volta na expressão para
para encontrar
:
Substituindo
:
Então:
Passo 9
A energia exata do estado fundamental do oscilador harmônico é:
Comparando com
:
Podemos ver que a energia esperada com a função de onda teste é maior que a energia exata, como esperado pelo princípio variacional.
Resposta
O melhor valor para
é
e o limite superior para a energia do estado fundamental obtido usando a função de onda teste é aproximadamente
. Esse valor é maior que a energia exata
, confirmando o princípio variacional.