(b) Calcule o menor limite superior para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico utilizando uma função teste de forma
Resposta parcial: o melhor valor de é dado por

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física quântica onde precisamos calcular o menor limite superior para o primeiro estado excitado de um oscilador harmônico. A gente vai usar uma função teste da forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o princípio variacional, que ajuda a estimar os valores de energia nos sistemas quânticos usando funções de teste. Vamos seguir passo a passo para achar esse menor limite superior.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a função teste . Normalizar significa ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Ou seja, precisamos que:
Vamos calcular isso:
Simplificando:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição adequada ou consultar tabelas de integrais. O importante aqui é encontrar uma relação que nos ajude a expressar em termos de e .

Passo 3

Depois de normalizar, vamos calcular a energia esperada usando a função teste. A energia esperada é dada por:
Onde é o operador Hamiltoniano do oscilador harmônico:
Vamos calcular a energia esperada substituindo na expressão acima.

Passo 4

Vamos dividir a energia esperada em duas partes: a energia cinética ( ) e a energia potencial ( ).
Primeiro, a energia cinética:
E a energia potencial:
Vamos calcular cada uma dessas integrais usando nossa função teste.

Passo 5

Após calcular as integrais para e , somamos elas para obter a energia total esperada:
Esse valor de será uma função de e .

Passo 6

Agora, queremos minimizar essa energia em relação a para encontrar o menor limite superior. Para isso, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Isso nos dará a condição ótima para que minimiza a energia.

Passo 7

A partir da condição acima, resolvemos para e encontramos que o melhor valor de é:

Resposta

O menor limite superior para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico utilizando a função teste dada é alcançado quando:

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