Suponha que você tenha um sistema quântico cujo Hamiltoniano admita apenas dois autoestados, com energia e (com energia ). Eles são ortogonais, normalizados e não degenerados (suponha que seja a menor das duas energias). Agora, ativamos uma perturbação com os seguintes elementos de matriz:
em que é uma constante específica.
© Calcule a energia do estado fundamental do sistema perturbado utilizando o princípio variacional com uma função teste de forma
em que é um parâmetro ajustável. Nota: escrever a combinação linear dessa maneira é apenas uma forma simples de garantir que seja normalizada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema quântico com dois estados próprios, e , que são ortogonais e têm energias e respectivamente, onde é menor que . A gente ativa uma perturbação com certos elementos de matriz e quer calcular a energia do estado fundamental usando o princípio variacional com uma função teste que combina esses dois estados. Para resolver isso, vamos precisar entender o princípio variacional e como aplicar uma função teste para encontrar a energia mínima.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o princípio variacional. Esse princípio nos diz que, se a gente pega qualquer função de teste normalizada e calcula o valor esperado do Hamiltoniano, esse valor será sempre maior ou igual à energia do estado fundamental verdadeiro do sistema. Ou seja, ao minimizar esse valor esperado, a gente consegue uma boa estimativa para a energia mínima.

Passo 3

A função teste que vamos usar é:
Aqui, é um parâmetro que a gente pode ajustar para minimizar a energia. Esse tipo de combinação linear garante que seja normalizada, já que .

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor esperado do Hamiltoniano perturbado para a função teste . Isso é dado por:
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular :
Isso porque e são estados próprios de com energias e respectivamente, e são ortogonais.
Agora, vamos calcular :
Isso vem dos elementos de matriz da perturbação que o enunciado nos deu.

Passo 6

Juntando tudo, temos que a energia esperada é:

Passo 7

Para encontrar a energia mínima, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Simplificando:
Dividindo por 2 e rearranjando:
Podemos usar identidades trigonométricas para simplificar ainda mais, mas para encontrar o valor de que satisfaz essa equação, podemos assumir que a mínima energia ocorre quando a mistura de estados equilibra as contribuições de , e .

Passo 8

Após resolver a equação acima para , substituímos de volta em para encontrar a energia mínima. Na prática, isso resulta na seguinte expressão para a energia do estado fundamental:

Resposta

A energia do estado fundamental do sistema perturbado é:
í

Exercícios de Livros Relacionados