Suponha que você tenha um sistema quântico cujo Hamiltoniano
admita apenas dois autoestados,
com energia
e
(com energia
). Eles são ortogonais, normalizados e não degenerados (suponha que
seja a menor das duas energias). Agora, ativamos uma perturbação
com os seguintes elementos de matriz:
em que
é uma constante específica.
© Calcule a energia do estado fundamental do sistema perturbado utilizando o princípio variacional com uma função teste de forma
em que
é um parâmetro ajustável. Nota: escrever a combinação linear dessa maneira é apenas uma forma simples de garantir que
seja normalizada.
© Calcule a energia do estado fundamental do sistema perturbado utilizando o princípio variacional com uma função teste de forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema quântico com dois estados próprios,
e
, que são ortogonais e têm energias
e
respectivamente, onde
é menor que
. A gente ativa uma perturbação
com certos elementos de matriz e quer calcular a energia do estado fundamental usando o princípio variacional com uma função teste que combina esses dois estados. Para resolver isso, vamos precisar entender o princípio variacional e como aplicar uma função teste para encontrar a energia mínima.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o princípio variacional. Esse princípio nos diz que, se a gente pega qualquer função de teste normalizada e calcula o valor esperado do Hamiltoniano, esse valor será sempre maior ou igual à energia do estado fundamental verdadeiro do sistema. Ou seja, ao minimizar esse valor esperado, a gente consegue uma boa estimativa para a energia mínima.
Passo 3
A função teste que vamos usar é:
Aqui,
é um parâmetro que a gente pode ajustar para minimizar a energia. Esse tipo de combinação linear garante que
seja normalizada, já que .
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor esperado do Hamiltoniano perturbado
para a função teste
. Isso é dado por:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular
:
Isso porque
e
são estados próprios de
com energias
e
respectivamente, e são ortogonais.
Agora, vamos calcular
:
Isso vem dos elementos de matriz da perturbação que o enunciado nos deu.
Passo 6
Juntando tudo, temos que a energia esperada é:
Passo 7
Para encontrar a energia mínima, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Simplificando:
Dividindo por 2 e rearranjando:
Podemos usar identidades trigonométricas para simplificar ainda mais, mas para encontrar o valor de
que satisfaz essa equação, podemos assumir que a mínima energia ocorre quando a mistura de estados equilibra as contribuições de
,
e
.
Passo 8
Após resolver a equação acima para
, substituímos de volta em
para encontrar a energia mínima. Na prática, isso resulta na seguinte expressão para a energia do estado fundamental:
Resposta
A energia do estado fundamental do sistema perturbado é: