Suponha que você tenha um sistema quântico cujo Hamiltoniano
admita apenas dois autoestados,
com energia
e
(com energia
). Eles são ortogonais, normalizados e não degenerados (suponha que
seja a menor das duas energias). Agora, ativamos uma perturbação
com os seguintes elementos de matriz:
em que
é uma constante específica.
(d) Compare suas respostas a (a), (b) e ©. Por que o princípio variacional é tão preciso nesse caso?
(d) Compare suas respostas a (a), (b) e ©. Por que o princípio variacional é tão preciso nesse caso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema quântico com um Hamiltoniano
que possui dois estados próprios,
com energia
e
com energia
. Esses estados são ortogonais, normalizados e não degenerados, ou seja,
é menor que
. Aí, adicionamos uma perturbação
com certos elementos de matriz. O conteúdo aqui envolve mecânica quântica, especificamente teoria de perturbação e o princípio variacional. Vamos precisar entender como essas ferramentas se aplicam para comparar as respostas dos itens anteriores (a, b e c) e ver por que o princípio variacional é tão preciso nesse caso.
Passo 2
Nos itens (a), (b) e ©, provavelmente calculamos diferentes aproximações ou correções para as energias dos estados devido à perturbação
. Vamos supor que:
- No item (a), tínhamos uma aproximação de primeira ordem.
- No item (b), uma de segunda ordem.
- No item ©, talvez uma abordagem variacional.
Agora, queremos comparar esses resultados. A ideia é ver qual método nos dá a melhor estimativa da energia do estado fundamental quando aplicamos a perturbação
.
Passo 3
O princípio variacional nos diz que, se escolhermos uma função de teste para o estado, a energia calculada com essa função será sempre maior ou igual à energia verdadeira do estado fundamental. Isso é super útil porque nos dá uma maneira de estimar a energia mínima possível.
No contexto do nosso sistema com apenas dois estados, a perturbação
é simples e controlada. Isso significa que as aproximações feitas nos itens anteriores capturam muito bem o comportamento real do sistema. A simplicidade dos estados e a forma da perturbação fazem com que a função de teste usada no princípio variacional se alinhe de forma eficiente com o estado real, reduzindo ao mínimo a diferença entre a energia estimada e a real.
Resposta
O princípio variacional é tão preciso nesse caso porque a simplicidade do sistema com apenas dois estados próprios e a forma específica da perturbação permitem que a aproximação variacional capture de maneira eficaz a energia real do estado fundamental. Assim, ao comparar as respostas dos itens (a), (b) e ©, vemos que a estimativa obtida pelo princípio variacional se aproxima muito da energia exata, demonstrando sua alta precis��o nesse cenário.